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問題3.4.4

曲線$C$を$r=f(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$と極座標表示すると、$C$の長さは$$l(C)={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{f(\theta )}^2+{f^{\prime }(\theta )}^2}d\theta$$で与えられることを示し、これを用いて次の曲線の長さを求めよ。

（１） $r=a(1+\cos \theta )$ $(0\le t\le 2\pi ,a>0)$ （カーディオイド）

（２） $r=a\theta$ $(0\le t\le \alpha ,a>0)$ （アルキメデスの螺旋）

（３） $r=e^{-a\theta }$ $(0\le t<\mathrm{\infty },a>0)$ （等角螺旋）

 

《ポイント》

曲線$C$が$r=f(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$と極座標表示されているとき、パラメータ表示に直すと$$\{\begin{array}{l}x(\theta )=f(\theta )\cos \theta \\ y(\theta )=f(\theta )\sin \theta \end{array}$$となります。したがって$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(\theta )=f^{\prime }(\theta )\cos \theta -f(\theta )\sin \theta \\ y^{\prime }(\theta )=f^{\prime }(\theta )\sin \theta +f(\theta )\cos \theta \end{array}$$となるので、曲線$C$の長さ$l(C)$は$$\begin{array}{rl}l(C)& ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{x^{\prime }(\theta )}^2+{y^{\prime }(\theta )}^2}d\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{(f^{\prime }(\theta )\cos \theta -f(\theta )\sin \theta {)}^2+(f^{\prime }(\theta )\sin \theta +f(\theta )\cos \theta {)}^2}d\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{f(\theta )({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+f^{\prime }(\theta )({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}d\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{f(\theta )}^2+{f^{\prime }(\theta )}^2}d\theta \end{array}$$と表すことができます。これに各関数を当てはめていけばOKです。

 

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《解答例》

（１）

曲線$C$は $r=a(1+\cos \theta )$ $(0\le t\le 2\pi ,a>0)$ （カーディオイド）で定められ、$r^{\prime }=-a\sin \theta$ より、$$\begin{array}{rl}l(C)& ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{r^2+{(r^{\prime })}^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{a^2(1+\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta }d\theta \\ & =a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )+{\sin }^2\theta }d\theta \\ & =a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{2+2\cos \theta }d\theta \\ & =\sqrt{2}a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{1+\cos \theta }d\theta \\ & =2a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{2}}}d\theta \\ & =2a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}d\theta \\ & =4a{\int }_0^{\pi }\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta (\because \sqrt{{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}\text{は偶関数})\\ & =8a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos tdt(t=2\theta )\\ & =8a{[\sin t]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =8a\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（２）

曲線$C$は $r=a\theta$ $(0\le t\le \alpha ,a>0)$ （アルキメデスの螺旋）で定められ、$r^{\prime }=a$ より、$$\begin{array}{rl}l(C)& ={\int }_0^{\alpha }\sqrt{r^2+{(r^{\prime })}^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{\alpha }\sqrt{(a\theta {)}^2+a^2}d\theta \\ & =a{\int }_0^{\alpha }\sqrt{{\theta }^2+1}d\theta \\ & ={\displaystyle \frac{a}{2}}{[\theta \sqrt{{\theta }^2+1}+\log (\theta +\sqrt{{\theta }^2+1})]}_0^{\alpha }\\ & ={\displaystyle \frac{a}{2}}\{\alpha \sqrt{{\alpha }^2+1}+\log (\alpha +\sqrt{{\alpha }^2+1})\}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$
※式変形の途中で、公式
$$(\ast ){\displaystyle \int \sqrt{a+x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}(x\sqrt{a+x^2}+a\log (x+\sqrt{a+x^2}))}$$を用いています。

 

（３）

曲線$C$は $r=e^{-a\theta }$ $(0\le t<\mathrm{\infty },a>0)$（等角螺旋）で定められ、$r^{\prime }=-a{e}^{-a\theta }$ より、$$\begin{array}{rl}l(C)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sqrt{r^2+{(r^{\prime })}^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sqrt{e^{-2a\theta }+a^2{e}^{-2a\theta }}d\theta \\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sqrt{1+a^2}{e}^{-a\theta }d\theta \\ & =-{\displaystyle \frac{\sqrt{1+a^2}}{a}}{\left[e^{-a\theta }\right]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{1+a^2}}{a}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

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復習例題未設定

 

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