問題3.4.5
曲線$C$：$y=f(x)$は原点$\mathrm{O}$を通り、$\mathrm{O}$から$C$上の点$(a,\ f(a))\ (a>0)$までの曲線の長さが $a^2+a$ とする。関数$f(x)$を求めよ。
《ポイント》
問題3.4.1でも確認しましたが、陽関数 $y=f(x)$ の閉区間$[a,b]$における曲線の長さは$$\displaystyle \int_a^{b} \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx$$で表されます。$f(x)$の形によっては以下の公式が有用です（但し $a \ne 0$）。$$\displaystyle \int \sqrt{a+x^2}dx=\dfrac{1}{2}\left\{x\sqrt{a+x^2}+a\log \left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\right\}$$
《解答例》
原点から点$(a,\ f(a))$までの曲線の長さは$$\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx$$であるから、仮定より、等式$$\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx=a^2+a$$が成立する。ここで$a$を変数とみなして両辺を$a$で微分すると$$\sqrt{1+\{f'(a)\}^2}=2a+1$$となる。ここで両辺を$2$乗すると$$1+\{f'(a)\}^2=4a^2+4a+1$$ $$\therefore f'(a)=\pm 2\sqrt{a^2+a}$$となり、曲線 $y=f(x)$ は原点を通るので $f(0)=0$ が成り立つから、$$\therefore f(a)=\pm 2 \displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{t^2+t}\ dt$$と表せる。ここで $u=t+\dfrac{1}{2}$ と置くと、$$\begin{align} f(a)&=\pm 2 \displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{t^2+t}\ dt \\
&=\pm 2\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}}\ dt \\
&=\pm 2\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}} \sqrt{u^2-\dfrac{1}{4}}\ du \\
&=\pm \left[u\sqrt{u^2-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{4}\log \left(u+\sqrt{u^2-\dfrac{1}{4}}\right)\right]_{\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}} \\
&=\pm \left\{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\sqrt{a^2+a}-\dfrac{1}{4}\log \left(a+\dfrac{1}{2}+\sqrt{a^2+a}\right)-\dfrac{1}{4}\log 2\right\} \end{align}$$
故に$$f(x)=\pm \left\{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\sqrt{x^2+x}-\dfrac{1}{4}\log \left(x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x^2+x}\right)-\dfrac{1}{4}\log 2\right\} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$を得る。
※式変形の途中で、公式$$\displaystyle \int \sqrt{x^2+a}dx=\dfrac{1}{2}\left\{x\sqrt{x^2+a}+a\log \left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\right\}$$を用いています。
復習例題未設定