問題4.2.3
次の曲面の、与えられた点における接平面と法線の方程式を求めよ。
（１）$z=3x^2y+xy$ $(1,-1,-4)$
（２）$z=\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}$ $(2,-3,\ 2)$
（３）$z=\dfrac{x}{x+y}$ $(-2,\ 1,\ 2)$
（４）$z=\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$ $\left(1,-1,-\dfrac{\pi}{4}\right)$
《ポイント》
前問の結果を利用して解答しましょう。
《補題》（cf. 問題4.2.2）
曲面 $z=f(x,y)$ 上の１点 $\mathrm{P}(a,b,f(a,b))$ における法線は、次の式で与えられる。$$\dfrac{x-a}{f_x(a,b)}=\dfrac{y-b}{f_y(a,b)}=\dfrac{z-f(a,b)}{-1}$$
《定理》
関数$f(x,y)$が点$(a,b)$で全微分可能ならば、曲面$S:z=f(x,y)$上の$\mathrm{P}(a,b,f(a,b))$ において、$S$の接平面$\pi$が存在し、$$\pi:z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$と表せる。
《解答例》
（１）$z=3x^2y+xy$ $(1,-1,-4)$
$z_x=6xy+y$、$z_y=3x^2+x$ より、接平面の方程式は$$z=-7(x-1)+4(y+1)-4$$ $$\therefore 7x-4y+z-7=0$$と求められる。また、法線の方程式は$$-\dfrac{x-1}{7}=\dfrac{y+1}{4}=-z-4$$と求められる。
※巻末の解答では$$\dfrac{x-1}{7}=-\dfrac{y+1}{4}=z+4$$となっていますが、各辺に$-1$を乗じているだけなのでどちらでもOKです。
（２）$z=\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}$ $(2,-3,\ 2)$
$z_x=\dfrac{x}{2}$、$z_y=\dfrac{2}{9}y$ より、接平面の方程式は$$z=(x-2)-\dfrac{2}{3}(y+3)+2$$ $$\therefore x-\dfrac{2}{3}y-z-2=0$$ $$\therefore 3x-2y-3z-6=0$$と求められる。また、法線の方程式は$$\dfrac{x-2}{1}=-\dfrac{y+3}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{z-2}{-1}$$ $$\therefore \dfrac{x-2}{3}=-\dfrac{y+3}{2}=-\dfrac{z-2}{3}$$と求められる。
（３）$z=\dfrac{x}{x+y}$ $(-2,\ 1,\ 2)$
$z_x=\dfrac{y}{(x+y)^2}$、$z_y=-\dfrac{x}{(x+y)^2}$ より、接平面の方程式は$$z=(x+2)+2(y-1)+2$$ $$\therefore x+2y-z+2=0$$と求められる。また、法線の方程式は$$\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$$ $$\therefore x+2=\dfrac{y-1}{2}=-z+2$$と求められる。
（４）$z=\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$ $\left(1,-1,-\dfrac{\pi}{4}\right)$
$z_x=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$、$z_y=\dfrac{x}{x^2+y^2}$ より、接平面の方程式は$$z=\dfrac{1}{2}(x-1)+\dfrac{1}{2}(y+1)-\dfrac{\pi}{4}$$ $$\therefore \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-z-\dfrac{\pi}{4}=0$$ $$\therefore x+y-2z-\dfrac{\pi}{2}=0$$と求められる。また、法線の方程式は$$\dfrac{x-1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{z+\dfrac{\pi}{4}}{-1}$$ $$\therefore x-1=y+1=-\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{\pi}{4}\right)$$と求められる。
復習例題は設定していません。