微積4.2.4 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ 問題4.2.4 合成関数の微分を用いてdzdtを求めよ。 (1)z=xy2−x2y、x=t2、y=et (2)z=tan−1xy、x=et+e−t、y=e2t (3)z=ex2y、x=cost、y=t2 (4)z=f(x,y)、x=cost、y=sint 《ポイント》 合成関数の微分の公式は以下のようなものでした。dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydtこれにより合成関数を微分することができます。 《解答例》 (1)z=xy2−x2y、x=t2、y=et 答dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt=(y2−2xy)⋅2t+(2xy−x2)et=(e2t−2t2et)⋅2t+(2t2et−t4)et=2(t2+t)e2t−(t4+4t3)et ⋯⋯(答) (2)z=tan−1xy、x=et+e−t、y=e2t 答dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt=y1+(xy)2(et−e−t)+x1+(xy)2⋅2e2t=11+(xy)2{(et−e−t)y+2xe2t}=11+(e3t+et)2{(e3t−et)+2(e3t+et)}=3e3t+et1+e2t+2e4t+e6t ⋯⋯(答) (3)z=ex2y、x=cost、y=t2 答dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt=2xyex2y(−sint)+x2ex2y⋅2t=−2t2costsint⋅et2cos2t+2tcos2t⋅et2cos2t=2tcost(cost−tsint)et2cos2t ⋯⋯(答) (4)z=f(x,y)、x=cost、y=sint 答dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt=fx(x,y)(−sint)+fy(x,y)cost=−fx(cost,sint)sint+fy(cost,sint)cost ⋯⋯(答) 復習例題は設定していません。 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ