微積4.2.4

前に戻る トップへ戻る 次の問題へ

問題4.2.4

合成関数の微分を用いてdzdtを求めよ。

(1)z=xy2x2yx=t2y=et

(2)z=tan1xyx=et+ety=e2t

(3)z=ex2yx=costy=t2

(4)z=f(x,y)x=costy=sint

 

《ポイント》

合成関数の微分の公式は以下のようなものでした。dzdt=zxdxdt+zydydtこれにより合成関数を微分することができます。

 


 

《解答例》

(1)z=xy2x2yx=t2y=et

dzdt=zxdxdt+zydydt=(y22xy)2t+(2xyx2)et=(e2t2t2et)2t+(2t2ett4)et=2(t2+t)e2t(t4+4t3)et  ()

 

(2)z=tan1xyx=et+ety=e2t

dzdt=zxdxdt+zydydt=y1+(xy)2(etet)+x1+(xy)22e2t=11+(xy)2{(etet)y+2xe2t}=11+(e3t+et)2{(e3tet)+2(e3t+et)}=3e3t+et1+e2t+2e4t+e6t  ()

 

(3)z=ex2yx=costy=t2

dzdt=zxdxdt+zydydt=2xyex2y(sint)+x2ex2y2t=2t2costsintet2cos2t+2tcos2tet2cos2t=2tcost(costtsint)et2cos2t  ()

 

(4)z=f(x,y)x=costy=sint

dzdt=zxdxdt+zydydt=fx(x,y)(sint)+fy(x,y)cost=fx(cost,sint)sint+fy(cost,sint)cost  ()

 


 

復習例題は設定していません。

 


前に戻る トップへ戻る 次の問題へ