問題4.3.3
微分作用素 $\varDelta =\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}$ をラプラシアンという。次の関数にラプラシアン$\varDelta$を作用させよ。
（１）$z=\log(x^2+y^2)$
（２）$z=\dfrac{x}{x^2+y^2}$
（３）$z=\tan^{-1} \dfrac{y}{x}$
（４）$z=x^3+xy+y^3$
《ポイント》
前問同様、単なる偏微分の計算練習です。ラプラシアンは物理学などの分野でよく登場します。有名どころではシュレーディンガー方程式を記述する際に用いられます（その場合は「$\nabla^2$」という記号を用いることが多いです）。
《解答例》
（１）$z=\log(x^2+y^2)$
$$\begin{align} \varDelta z &= \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)\log(x^2+y^2) \\ &=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}\log(x^2+y^2)+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\log(x^2+y^2) \\ &=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{2x}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{2y}{x^2+y^2}\right) \\ &=\dfrac{2(-x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\dfrac{2(x^2-y^2)}{x^2+y^2} \\ &=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）$z=\dfrac{x}{x^2+y^2}$
$$\begin{align} \varDelta z &= \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)\dfrac{x}{x^2+y^2} \\
&=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\right) \\
&=\dfrac{2 x (x^2 – 3 y^2)}{(x^2 + y^2)^3}-\dfrac{2 x (x^2 – 3 y^2)}{(x^2 + y^2)^3} \\ &=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（３）$z=\tan^{-1} \dfrac{y}{x}$
$$\begin{align} \varDelta z &= \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)\tan^{-1} \dfrac{y}{x} \\
&=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x}{x^2+y^2}\right) \\
&=\dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}-\dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} \\ &=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（４）$z=x^3+xy+y^3$
$$\begin{align} \varDelta z &= \left(\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}\right)(x^3+xy+y^3) \\
&=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2+y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(x+3y^2) \\
&=6x+6y \\ &=6(x+y) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
復習例題は設定していません。