問題4.4.5
次の方程式で与えられる陰関数 $y=\varphi(x)$ の極値を求めよ。（$\varphi^{\prime}$、$\varphi^{\prime \prime}$を調べよ）
（１）$x^2+xy+2y^2=1$
（２）$x^2-xy+y^3=7$
《ポイント》
陰関数 $y=\varphi(x)$ は$x$の関数です。極値を与える点$(a,b)$において $\varphi^{\prime}(a)=0$ が成り立つことを利用します。なお、「$\varphi^{\prime \prime}$を調べよ」とあるのは別に凹凸を調べなければならないという訳ではなく、単純に「二次の微分を極大極小の判断に利用しなさい」と言っているだけです。
《解答例》
（１）$x^2+xy+2y^2=1$
陰関数 $y=\varphi(x)$ は $f(x,\varphi(x))=0$ を満たす。この両辺を$x$で微分すると$$2x+ \varphi(x)+x\varphi^{\prime}(x)+4\varphi(x)\varphi^{\prime}(x)=0 \tag{1.1}$$となる。陰関数 $y=\varphi(x)$ の極値を与える点$(a,b)$においては $\varphi^{\prime}(a)=0$ が成り立つから、$x=a$ を$(1.1)$式に代入して$$2a+\varphi(a)=0$$を得る。故に極値を与える点$(x,y)$においては常に$$\varphi(x)=-2x$$が成り立つ。よって $y=-2x$ を与式 $x^2+xy+2y^2=1$ に代入して、$$x^2-2x^2+8x^2=1$$ $$\therefore x^2=\dfrac{1}{7}$$ $$\therefore x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{7}}$$を得るので、これが極値を与える点の必要条件である。よって陰関数は$$\varphi\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)=\mp\dfrac{2}{\sqrt{7}}$$を満たす。また、$(1.1)$式を$\varphi^{\prime}(x)$について解くと、$$\varphi^{\prime}(x)=-\dfrac{2x+
\varphi(x)}{x+4\varphi(x)}$$となり、この両辺を$x$で微分すると$$\varphi^{\prime\prime}(x)=\dfrac{7(x\varphi^{\prime}(x)-\varphi(x))}{(x+4\varphi(x))^2}\tag{1.2}$$となる。$(1.2)$式を用いて、陰関数 $y=\varphi(x)$ が点$\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{7}},\mp\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)$で極値をとるかどうかを調べる。
$a=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ のとき、$$\varphi^{\prime\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{7}}>0$$となるから、陰関数 $y=\varphi(x)$ は点$\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}},-\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)$で極小値$-\dfrac{2}{\sqrt{7}}$をとる。
$a=-\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ のとき、$$\varphi^{\prime\prime}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)=-\dfrac{2}{\sqrt{7}}<0$$となるから、陰関数 $y=\varphi(x)$ は点$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{7}},\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)$で極大値$\dfrac{2}{\sqrt{7}}$をとる。
※注：曲線 $x^2+xy+2y^2=1$ は楕円である。
（２）$x^2-xy+y^3=7$
陰関数 $y=\varphi(x)$ は $f(x,\varphi(x))=0$ を満たす。この両辺を$x$で微分すると$$2x-\varphi(x)-x\varphi^{\prime}(x)+3\{\varphi(x)\}^2\varphi^{\prime}(x)=0 \tag{2.1}$$となる。陰関数 $y=\varphi(x)$ の極値を与える点$(a,b)$においては $\varphi^{\prime}(a)=0$ が成り立つから、$x=a$ を$(2.1)$式に代入して$$2a-\varphi(a)=0$$を得る。故に極値を与える点$(x,y)$においては常に$$\varphi(x)=2x$$が成り立つ。よって $y=2x$ を与式 $x^2-xy+y^3=7$ に代入して、$$x^2-2x^2+8x^3=7$$ $$\therefore 8x^3-x^2-7=0$$ $$\therefore (x-1)(8x^2+7x+7)=0$$ $$\therefore x=1 \ \ \ (\because x \in \mathbb{R})$$を得るので、これが極値を与える点の必要条件である。よって陰関数は$$\varphi(1)=2$$を満たす。また、$(2.1)$式を$\varphi^{\prime}(x)$について解くと、$$\varphi^{\prime}(x)=\dfrac{2x-\varphi(x)}{x-3\{\varphi(x)\}^2}$$となり、この両辺を$x$で微分すると$$\begin{align} \varphi^{\prime\prime}(x) &= \dfrac{\varphi(x)(-6\varphi(x)+1)}{(x-3\{\varphi(x)\}^2)^2} \\ & \ \ \ +\dfrac{\varphi^{\prime}(x)(-x+4x\varphi(x)+\{\varphi(x)\}^2)}{(x-3\{\varphi(x)\}^2)^2} \end{align}$$となる。これより、$x=1$ のとき、$$\varphi^{\prime\prime}(1)=-\dfrac{2}{11}<0$$となるから、陰関数 $y=\varphi(x)$ は点$(1,2)$で極大値$2$をとる。
※注：$\varphi^{\prime\prime}(1)$の計算では $\varphi^{\prime}(1)=0$ を用いています。（$\varphi^{\prime}(1)$で括ったのはこれを利用するためです）
復習例題は設定していません。