問題4.4.6
与えられた条件の下で、関数$f(x,y)$の極値を求めよ。
（１）$f(x,y)=y-x$ 条件：$x^2+y^2=2$
（２）$f(x,y)=xy$ 条件：$x^2+2y^2=1$
《ポイント》
ラグランジュの未定乗数法から求めます。この方法では新しい関数$F$を次のように定義します。
$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda \times$（条件式）
この関数$F$を偏微分することで条件式を導いて極値を求めます。
ラグランジュの未定乗数法は解析力学などでも登場しますので、理論物理学や量子化学、または工学系の諸分野を専攻しようと考えているなら今のうちにマスターしておくのが良いでしょう。
《解答例》
（１）$f(x,y)=y-x$ 条件：$x^2+y^2=2$
$$f(x,y,\lambda)=y-x-\lambda(x^2+y^2-2)$$と置くと$$\begin{cases} F_x=-1-2\lambda x=0 &\cdots ① \\ F_y=1-2\lambda y=0 &\cdots ② \\ -F_{\lambda}=x^2+y^2-2=0 &\cdots ③ \end{cases}$$となる。$①+②$より$$-2\lambda(x+y)=0$$ $$\therefore \lambda=0 \ \ \ \text{or} \ \ \ y=-x$$を得る。$\lambda=0$ とすると$①$より $-1=0$ となり不合理。 $y=-x$ とすると$③$より$$2x^2-2=0$$ $$\therefore x=\pm 1$$を得る。故に極値をとるためには $(x,y)=(\pm 1, \mp 1)$ であることが必要である。点$\mathrm{P}_1(1,-1)$の近傍における陰関数 $y=\varphi_1(x)$ を$③$に代入して両辺を繰り返し微分すると、$$\begin{cases} 2x+2\varphi_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)=0 &\cdots ④ \\ 2+2\{\varphi_1^{\prime}(x)\}^2+2\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime\prime}(x)=0 &\cdots ⑤ \end{cases}$$ $④$、$⑤$より $x=1\ (\varphi_1(1)=-1)$ とすると$$\varphi_1^{\prime}(1)=1、\varphi_1^{\prime\prime}(1)=1$$となる。$p(x)=f(x,\varphi_1(x))=\varphi_1(x)-x$ と置くと、$$p^{\prime}(1)=0、p^{\prime\prime}(1)=1>0$$となる。よって$p(x)$は $x=1$ で極小値$-2$をとる。
同様にして点$\mathrm{P}_2(-1,1)$の近傍における陰関数 $y=\varphi_2(x)$ を考えて、$q(x)=f(x,\varphi_2(x))=\varphi_2(x)-x$ と置くと、$$\varphi_2^{\prime}(-1)=1、\varphi_2^{\prime\prime}(-1)=-2$$より$$q^{\prime}(1)=0、q^{\prime\prime}(1)=-1<0$$となる。よって$q(x)$は $x=-1$ で極大値$2$をとる。
（答）$(-1,1)$ で極大値$2$、$(1,-1)$ で極小値$-2$
（２）$f(x,y)=xy$ 条件：$x^2+2y^2=1$
$$f(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+2y^2-1)$$と置くと$$\begin{cases} F_x=y-2\lambda x=0 &\cdots ① \\ F_y=x-4\lambda y=0 &\cdots ② \\ -F_{\lambda}=x^2+2y^2-1=0 &\cdots ③ \end{cases}$$となる。$①$、$②$より$$x-8\lambda^2 x=0$$ $$\therefore x=0 \ \ \ \text{or} \ \ \ \lambda=\pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$を得る。$x=0$ とすると$①$より $y=0$ となるが、$x=y=0$ は$③$を満たさないので不合理。 $\lambda=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ とすると$①$より $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x$ となる。よって$③$より、$$2x^2=1$$ $$\therefore x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$を得る。故に極値をとるためには $(x,y)=\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \dfrac{1}{2}\right)$ であることが必要である。点$\mathrm{P}_1\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{2}\right)$の近傍における陰関数 $y=\varphi_1(x)$ を$③$に代入して両辺を繰り返し微分すると、$$\begin{cases} 2x+4\varphi_1^{\prime}(x)\varphi_1(x)=0 &\cdots ④ \\ 2+4\{\varphi_1^{\prime}(x)\}^2+4\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime\prime}(x)=0 &\cdots ⑤ \end{cases}$$となる。$④$、$⑤$より $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \left(\varphi_1\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{2}\right)$ とすると$$\varphi_1^{\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}、\varphi_1^{\prime\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2$$となる。$p(x)=f(x,\varphi_1(x))=x\varphi_1(x)$ と置くと、$$p^{\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0、p^{\prime\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2\sqrt{2}<0$$となる。よって$p(x)$は $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$をとる。
点$\mathrm{P}_2\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{2}\right)$についても同様に調べると、$q(x)=f(x,\varphi_2(x))=x\varphi_2(x)$ は $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$をとる。
$\lambda=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ のとき、極値を与える候補となる点は$\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\mp \dfrac{1}{2}\right)$となる。これらについても同様に調べると、点$\mathrm{P}_3\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{2}\right)$、点$\mathrm{P}_4\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{2}\right)$で極小値$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$をとる。
（答）$\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\mp \dfrac{1}{2}\right)$で極小値$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$、$\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \dfrac{1}{2}\right)$で極大値$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
復習例題は設定していません。