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問題5.1.4

$f(x,y)$、$g(x,y)$が、長方形領域$D$で積分可能な関数とするとき、次を示せ。

（１）$$\begin{gathered} {\displaystyle {\iint }_D\{f(x,y)\pm g(x,y)\}dxdy} \\ ={\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\pm {\iint }_{D}g(x,y)dxdy} \end{gathered}$$

（２）${\displaystyle {\iint }_{D}cf(x,y)dxdy={\displaystyle c{\iint }_{D}f(x,y)dxdy}}$　（ $c$：実数）

（３）${\displaystyle |{\iint }_{D}f(x,y)dxdy|\leqq {\displaystyle {\iint }_D|f(x,y)|dxdy}}$

 

《ポイント》

長方形領域$D$の分割$\Delta$を用いて議論します。教科書で紹介されている定理によって和の形に落とし込んでから演算を行えば簡単に示すことができます。

《定理》
$f(x,y)$は長方形領域$D$で積分可能とする。領域$D$の分割$\Delta$の小領域${\Delta }_{ij}$の中に任意の点$({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})$をとるとき、次の式が成り立つ。$${\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)dxdy=\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}$$

 

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《解答例》

（１）

$\Delta$を長方形領域$D$の分割とし、${\Delta }_{ij}$を$\Delta$の小領域とする。${\Delta }_{ij}$における点$({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})$をとると$${\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)dxdy=\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}$$ $${\displaystyle {\iint }_{D}g(x,y)dxdy=\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}g({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}$$となる。この２式の右辺は自由に和・差をとれるため、$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\pm {\iint }_{D}g(x,y)dxdy}\\ & =\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\\ & \pm \underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}g({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\\ & =\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}\{f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})\pm g({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})\}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\end{array}$$と書き直すことができる。一方で$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\iint }_D\{f(x,y)\pm g(x,y)\}dxdy}\\ & =\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}\{f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})\pm g({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})\}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\end{array}$$であるから

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\iint }_D\{f(x,y)\pm g(x,y)\}dxdy} \\ ={\displaystyle {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\pm {\iint }_{D}g(x,y)dxdy} \end{gathered}$$

が成立する。

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（２）

$\Delta$を長方形領域$D$の分割とし、${\Delta }_{ij}$を$\Delta$の小領域とする。${\Delta }_{ij}$における点$({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})$をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\iint }_{D}cf(x,y)dxdy}& =\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}cf({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\\ & =c\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\end{array}$$と式変形できる。一方で$${\displaystyle c{\iint }_{D}f(x,y)dxdy=c\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}$$であるから$${\displaystyle {\iint }_{D}cf(x,y)dxdy={\displaystyle c{\iint }_{D}f(x,y)dxdy}}$$が成立する。

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（３）

$\Delta$を長方形領域$D$の分割とし、${\Delta }_{ij}$を$\Delta$の小領域とする。${\Delta }_{ij}$における点$({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})$をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle |{\iint }_{D}f(x,y)dxdy|}& =\underset{|\Delta |\to 0}{lim}|\sum _{i,j}f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})|\\ & \leqq \underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}|f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})|(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\end{array}$$と式変形できる。一方で$${\displaystyle {\iint }_D|f(x,y)|dxdy=\underset{|\Delta |\to 0}{lim}\sum _{i,j}|f({\alpha }_{ij},{\beta }_{ij})|(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})}$$であるから$${\displaystyle |{\iint }_{D}f(x,y)dxdy|\leqq {\displaystyle {\iint }_D|f(x,y)|dxdy}}$$が成立する。

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復習例題は設定していません。

 

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