問題5.1.4
$f(x,y)$、$g(x,y)$が、長方形領域$D$で積分可能な関数とするとき、次を示せ。
（１）$\displaystyle \iint_D \{f(x,y) \pm g(x,y)\}\ dxdy \\ =\displaystyle \iint_D f(x,y) \ dxdy\pm \iint_D g(x,y)\ dxdy$
（２）$\displaystyle \iint_D cf(x,y)\ dxdy =\displaystyle c\iint_D f(x,y)\ dxdy$ （ $c$：実数）
（３）$\displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\ dxdy\right| \leqq \displaystyle \iint_D |f(x,y)|\ dxdy$
《ポイント》
長方形領域$D$の分割$\varDelta$を用いて議論します。教科書で紹介されている定理によって和の形に落とし込んでから演算を行えば簡単に示すことができます。
《定理》
$f(x,y)$は長方形領域$D$で積分可能とする。領域$D$の分割$\varDelta$の小領域$\varDelta_{ij}$の中に任意の点$(\alpha_{ij},\beta_{ij})$をとるとき、次の式が成り立つ。$$\displaystyle \iint_D f(x,y)\ dxdy =\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$
《解答例》
（１）
$\varDelta$を長方形領域$D$の分割とし、$\varDelta_{ij}$を$\varDelta$の小領域とする。$\varDelta_{ij}$における点$(\alpha_{ij},\beta_{ij})$をとると$$\displaystyle \iint_D f(x,y)\ dxdy=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$ $$\displaystyle \iint_D g(x,y)\ dxdy=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}g(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$となる。この２式の右辺は自由に和・差をとれるため、$$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \iint_D f(x,y)\ dxdy\pm\iint_D g(x,y)\ dxdy \\ &=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \\ &\ \ \ \ \pm\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}g(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \\ &=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}\{f(\alpha_{ij},\beta_{ij})\pm g(\alpha_{ij},\beta_{ij})\}(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \end{align}$$と書き直すことができる。一方で$$\begin{align} &\displaystyle \iint_D \{f(x,y) \pm g(x,y)\}\ dxdy \\ &=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}\{f(\alpha_{ij},\beta_{ij})\pm g(\alpha_{ij},\beta_{ij})\}(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \end{align}$$であるから
$$\displaystyle \iint_D \{f(x,y) \pm g(x,y)\}\ dxdy \\ \ \ \ \ =\displaystyle \iint_D f(x,y) \ dxdy\pm \iint_D g(x,y)\ dxdy$$
が成立する。
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（２）
$\varDelta$を長方形領域$D$の分割とし、$\varDelta_{ij}$を$\varDelta$の小領域とする。$\varDelta_{ij}$における点$(\alpha_{ij},\beta_{ij})$をとると$$\begin{align} \displaystyle \iint_D cf(x,y)\ dxdy&=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}cf(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})\\ &=c\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \end{align}$$と式変形できる。一方で$$\displaystyle c\iint_D f(x,y)\ dxdy=c\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$であるから$$\displaystyle \iint_D cf(x,y)\ dxdy =\displaystyle c\iint_D f(x,y)\ dxdy$$が成立する。
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（３）
$\varDelta$を長方形領域$D$の分割とし、$\varDelta_{ij}$を$\varDelta$の小領域とする。$\varDelta_{ij}$における点$(\alpha_{ij},\beta_{ij})$をとると$$\begin{align} \displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\ dxdy\right|&=\lim_{|\varDelta|\to 0}\left|\sum_{i,j}f(\alpha_{ij},\beta_{ij})(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})\right|\\ &\leqq \lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}\left|f(\alpha_{ij},\beta_{ij})\right|(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1}) \end{align}$$と式変形できる。一方で$$\displaystyle \iint_D |f(x,y)|\ dxdy=\lim_{|\varDelta|\to 0}\sum_{i,j}\left|f(\alpha_{ij},\beta_{ij})\right|(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})$$であるから$$\displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\ dxdy\right| \leqq \displaystyle \iint_D |f(x,y)|\ dxdy$$が成立する。
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復習例題は設定していません。