微積5.3.2

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問題5.3.2

次の線積分を重積分に帰着して計算せよ(Cは単位円の周を時計の逆回りに1周したもの)。

(1)C(ex+y)dx+(y4+x3)dy

(2)C(y3y)dx+(3y2xx)dy

 

《ポイント》

有界閉領域DD:{(x,y)| x2+y21}としてグリーンの定理を適用して重積分に直します。

グリーンの定理
P(x,y)Q(x,y)が有界閉領域DC1級関数のときDP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D(Q(x,y)xP(x,y)y)dxdyが成り立つ。

 


 

《解答例》

(1)C(ex+y)dx+(y4+x3)dy

グリーンの定理より、     C(ex+y)dx+(y4+x3)dy=D((x3+y4)x(ex+y)y)dxdy=D(3x21)dxdy=02πdθ01(3r2cos2θ1)rdr ({x=rcosθy=rsinθ)=02π(34cos2θ12)dθ=0π23cos2θ dθ02π12dθ=312π2122π=π4  (答)となる。

 

(2)C(y3y)dx+(3y2xx)dy

グリーンの定理より、     C(y3y)dx+(3y2xx)dy=D((3y2xx)x(y3y)y)dxdy=D(3y213y2+1)dxdy=0  (答)となる。

 


 

復習例題は設定していません。

 


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