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問題5.3.2

次の線積分を重積分に帰着して計算せよ（$C$は単位円の周を時計の逆回りに１周したもの）。

（１）${\displaystyle {\int }_C(e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy}$

（２）${\displaystyle {\int }_C(y^3-y)dx+(3y^{2}x-x)dy}$

 

《ポイント》

有界閉領域$D$を$D:\{(x,y)|x^2+y^2\leqq 1\}$としてグリーンの定理を適用して重積分に直します。

《グリーンの定理》
$P(x,y)$、$Q(x,y)$が有界閉領域$D$で$C^1$級関数のとき$${\int }_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D({\displaystyle \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}})dxdy$$が成り立つ。

 

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《解答例》

（１）${\displaystyle {\int }_C(e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy}$

グリーンの定理より、$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_C(e^x+y)dx+(y^4+x^3)dy}\\ & ={\iint }_D({\displaystyle \frac{\partial (x^3+y^4)}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial (e^x+y)}{\partial y}})dxdy\\ & ={\iint }_D(3x^2-1)dxdy\\ & ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1(3r^2{\cos }^2\theta -1)rdr(\because \{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array})\\ & ={\int }_0^{2\pi }({\displaystyle \frac{3}{4}}{\cos }^2\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}})d\theta \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3{\cos }^2\theta d\theta -{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{1}{2}}d\theta \\ & =3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\pi \\ & =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$となる。

 

（２）${\displaystyle {\int }_C(y^3-y)dx+(3y^{2}x-x)dy}$

グリーンの定理より、$$\begin{array}{rl}& {\int }_C(y^3-y)dx+(3y^{2}x-x)dy\\ & ={\iint }_D({\displaystyle \frac{\partial (3y^{2}x-x)}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial (y^3-y)}{\partial y}})dxdy\\ & ={\iint }_D(3y^2-1-3y^2+1)dxdy\\ & =0\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$となる。

 

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復習例題は設定していません。

 

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