微積5.3.2 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ 問題5.3.2 次の線積分を重積分に帰着して計算せよ(Cは単位円の周を時計の逆回りに1周したもの)。 (1)∫C(ex+y)dx+(y4+x3)dy (2)∫C(y3−y)dx+(3y2x−x)dy 《ポイント》 有界閉領域DをD:{(x,y)| x2+y2≦1}としてグリーンの定理を適用して重積分に直します。 《グリーンの定理》 P(x,y)、Q(x,y)が有界閉領域DでC1級関数のとき∫∂DP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y)dxdyが成り立つ。 《解答例》 (1)∫C(ex+y)dx+(y4+x3)dy グリーンの定理より、答 ∫C(ex+y)dx+(y4+x3)dy=∬D(∂(x3+y4)∂x−∂(ex+y)∂y)dxdy=∬D(3x2−1)dxdy=∫02πdθ∫01(3r2cos2θ−1)rdr (∵{x=rcosθy=rsinθ)=∫02π(34cos2θ−12)dθ=∫0π23cos2θ dθ−∫02π12dθ=3⋅12⋅π2−12⋅2π=−π4 ⋯⋯(答)となる。 (2)∫C(y3−y)dx+(3y2x−x)dy グリーンの定理より、答 ∫C(y3−y)dx+(3y2x−x)dy=∬D(∂(3y2x−x)∂x−∂(y3−y)∂y)dxdy=∬D(3y2−1−3y2+1)dxdy=0 ⋯⋯(答)となる。 復習例題は設定していません。 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ