微積5.3.6

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問題5.3.6

平面の領域Dの境界上に原点が存在しなければ、次が成り立つことを示せ。Dydx+xdyx2+y2={2π((0,0)D) 0((0,0)D)

 

《ポイント》

問題5.3.4で証明した事実を利用します。教科書の中でも少し触れられていますが、グリーンの定理は領域内に不連続な点(特異点)が存在すると適用できないので、領域Dの内部に原点が存在する場合は、原点を含む領域と含まない領域に分割する必要があります。

 


 

《解答例》

(0,0)D のとき P(x,y)=yx2+y2Q(x,y)=xx2+y2 は領域DにおいてC1級でPy(x,y)=Qx(x,y)(=x2+y2(x2+y2)2)を満たす。よって、Dydx+xdyx2+y2=DP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D(Qx(x,y)Py(x,y))dxdy=0となる。

 

(0,0)D のとき、領域Dを、原点を含む半径rの円C (D)と、領域Dから領域Cを除いた領域Eに分ける。このとき、Dydx+xdyx2+y2=Eydx+xdyx2+y2+Cydx+xdyx2+y2となる。領域Eは原点を含まないので、Eydx+xdyx2+y2は前半の議論により0となる。したがってDydx+xdyx2+y2=Cydx+xdyx2+y2となる。

ここで θθ:02π)をパラメータとして x=rcosθy=rsinθ と置くと、dx=rsinθ dθdy=rcosθ dθ となるから、     Cydx+xdyx2+y2=02πrsinθ(rsinθ)+rcosθrcosθr2dθ=02π(sin2θ+cos2θ)dθ=02πdθ=2πと求められる。

以上により、関係式Dydx+xdyx2+y2={2π((0,0)D) 0((0,0)D)が成り立つことが示された。

※領域D分割する際、原点を含む領域は必ずしも円である必要はないのですが、その後の計算のしやすさを考えると円で分割するのが最も適切な方法だと言えます。

 


 

復習例題は設定していません。

 


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