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問題5.4.2

$y=f(x)$（$a\leqq x\leqq b$）を$x$軸の周りに回転した図形の内部$V$の体積は$$v(V)=\pi {\int }_a^b{f(x)}^{2}dx$$であることを示せ。

 

《ポイント》

ガバリエリの原理を利用します。

 

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《解答例》

２つの平面 $x=a$、$x=b$（$a<b$）の間に存在する立体図形$K$を、点$(x,0,0)$を通る$x$軸に垂直な平面で切ったときの断面積が$x$の連続関数$S(x)$で与えられるとき、立体図形$K$の体積$v(K)$はガバリエリの原理より$$v(V)={\int }_a^{b}S(x)dx$$で与えられる。$y=f(x)$（$a\leqq x\leqq b$）を$x$軸の周りに回転した図形を、点$(x,0,0)$を通る$x$軸に垂直な平面で切ったときの断面積$S(x)$は$$S(x)=\pi {f(x)}^2$$であるから、$V$の体積$v(V)$は$$v(V)=\pi {\int }_a^b{f(x)}^{2}dx$$である。

 

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復習例題は設定していません。

 

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