問題5.4.3
次の図形の体積を求めよ
（１）$y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形の内部
（２）円盤 $x^2+(y-b)^2 \leqq a^2$（$0<a<b$）を$x$軸の周りに回転した図形の内部
（３）平面 $z=a$（$a \geqq 0$）で切った切り口がカーディオイドの内部 $r \leqq a(1+\cos \theta)$ となるような立体図形の $0 \leqq z \leqq 1$ の部分
《ポイント》
（１）と（２）は問題5.4.2の結果を利用します。$y=f(x)$（$a \leqq x \leqq b$）を$x$軸の周りに回転した図形$V$の体積$v(V)$は$$v(V)=\pi\int^{b}_{a}{f(x)}^2dx$$で与えられます。（３）ではガバリエリの原理を利用しましょう。カーディオイドの面積は問題5.2.4（３）や問題5.3.3（２）で既に扱っています。
《解答例》
（１）$y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形の内部
求める体積を$v(V)$とすると、$$\begin{align}v(V)&=\pi\int^{\pi}_{0} \sin^2 x\ dx \\ &=2\pi\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^2 x\ dx \\ &=2\pi \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &=\dfrac{\pi^2}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）円盤 $x^2+(y-b)^2 \leqq a^2$（$0<a<b$）を$x$軸の周りに回転した図形の内部
円盤 $x^2+(y-b)^2 \leqq a^2$（$0<a<b$）を$x$軸の周りに回転した図形を$V$とするとき、平面 $x=t$ で切ったときの$V$の断面積は、中心が$(x,0,0)$、半径が $b+\sqrt{a^2-t^2}$、$b-\sqrt{a^2-t^2}$ の２つの円に挟まれた部分の面積に等しい。よって求める体積を$v(V)$とすると、$$\begin{align}v(V)&=\pi\int^{a}_{-a} \left\{\left(b+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(b-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\right\}\ dx \\ &=\pi\int^{a}_{-a}4b\sqrt{a^2-x^2}\ dx \\ &=8b\pi\int^{a}_{0}\sqrt{a^2-x^2}\ dx \\ &=8b\pi \left[\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\sin^{-1}\dfrac{x}{a}\right)\right]^{a}_{0} \\ &=2\pi^2 a^2 b \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
※最後の積分は $\displaystyle \int^{a}_{0}\sqrt{a^2-x^2}\ dx$ が半径$a$の４分円の面積に等しいことを利用して$$\begin{align}8b\pi\int^{a}_{0}\sqrt{a^2-x^2}\ dx &=8b\pi \cdot \dfrac{\pi a^2}{4} \\ &=2\pi^2 a^2 b \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求めることもできます。
（３）平面 $z=a$（$a \geqq 0$）で切った切り口がカーディオイドの内部 $r \leqq a(1+\cos \theta)$ となるような立体図形の $0 \leqq z \leqq 1$ の部分
題意の立体図形を$V$とする。断面がカーディオイドの内部 $r \leqq a(1+\cos \theta)$ であるから、平面 $z=a$ で切ったときの$V$の断面積$S(a)$は、$$\begin{align}S(a)&=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_{0} {r(\theta)}^2\ d\theta \\ &=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_{0} a^2(1+\cos \theta)^2\ d\theta \\ &=a^2\int^{\pi}_{0}(1+2\cos \theta+\cos^2 \theta)\ d\theta \\ &=a^2\int^{\pi}_{0}(1+2\cos \theta)\ d\theta +2a^2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^2 \theta\ d\theta \\ &=a^2 \big[\theta+2\sin \theta\big]^{\pi}_{0}+2a^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &=\dfrac{3\pi a^2}{2} \end{align}$$と求められる。したがってガバリエリの原理より、$V$の体積を$v(V)$とすると、$$\begin{align}v(V)&=\int^{1}_{0} \dfrac{3\pi z^2}{2}\ dz \\ &=\dfrac{3\pi}{2}\int^{1}_{0}z^2\ dz \\ &=\dfrac{3\pi}{2}\left[\dfrac{1}{3}z^3\right]^{1}_{0} \\ &=\dfrac{\pi}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
復習例題は設定していません。