微積5.4.5b 前に戻る トップへ戻る 問題5.4.5b 次の図形の曲面積を求めよ(a>0)。 (3)アステロイド x23+y23=a23 をx軸の周りに回転した図形 (4)円 x2+(y−b)2=a2(a<b)をx軸の周りに回転した図形 《ポイント》 y=f(x)(a≦x≦b)をx軸の周りに回転してできる曲面Kの曲面積がS(K)=2π∫ab|f(x)|1+f′(x)2dxで与えられることを利用します。 《解答例》 (3)アステロイド x23+y23=a23 をx軸の周りに回転した図形 x23+y23=a23 の両辺をxで微分すると、23x−13+23y−13y ′=0となるから、 y ′=−y13x13である。ここで x=acos3θ、y=asin3θ と置くと、dx=3acos2θsinθ dθ となるから、 答S=2π∫−aa(a23−x23)321+y23x23 dx=4π∫0a(a23−x23)321+y23x23 dx=4π∫0π2a(1−cos2θ)321+sin2θcos2θ⋅3acos2θsinθ dθ=12πa2∫0π2sin4θcosθ dθ=12πa2[15sin5θ]0π2=125πa2 ⋯⋯(答)と求められる。 (4)円 x2+(y−b)2=a2(a<b)をx軸の周りに回転した図形 x2+(y−b)2=a2 をyについて解くと、y=b±a2−x2 (−a≦x≦a)となる。求めるべき曲面積Sは、曲線 y=b+a2−x2 をx軸の周りに回転した図形の曲面積S1と、曲線 y=b–a2−x2 をx軸の周りに回転した図形の曲面積S2の和である。よって、答S=S1+S2=2π∫−aa(b+a2−x2)1+(xa2−x2)2 dx +2π∫−aa(b–a2−x2)1+(xa2−x2)2 dx=2π∫−aa2b1+(xa2−x2)2 dx=4πb∫−aaaa2−x2 dx=8πab∫0a1a2−x2 dx=8πab[sin−1xa]0a=8πab(π2−0)=4π2ab ⋯⋯(答)と求められる。 ※±a2−x2 の部分で積分が相殺できるところが本問のポイントです。まともに計算しても良いですが、結局は消えてなくなる項なので初めからまとめて一気に積分した方がスマートです。 復習例題は設定していません。 前に戻る トップへ戻る