微積5.4.5b

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問題5.4.5b

次の図形の曲面積を求めよ(a>0)。

(3)アステロイド x23+y23=a23x軸の周りに回転した図形

(4)円 x2+(yb)2=a2a<b)をx軸の周りに回転した図形

 

《ポイント》

y=f(x)axb)をx軸の周りに回転してできる曲面Kの曲面積がS(K)=2πab|f(x)|1+f(x)2dxで与えられることを利用します。

 


 

《解答例》

(3)アステロイド x23+y23=a23x軸の周りに回転した図形

x23+y23=a23 の両辺をxで微分すると、23x13+23y13y =0となるから、
y =y13x13である。ここで x=acos3θy=asin3θ と置くと、dx=3acos2θsinθ dθ となるから、
S=2πaa(a23x23)321+y23x23 dx=4π0a(a23x23)321+y23x23 dx=4π0π2a(1cos2θ)321+sin2θcos2θ3acos2θsinθ dθ=12πa20π2sin4θcosθ dθ=12πa2[15sin5θ]0π2=125πa2  (答)と求められる。

 

 

(4)x2+(yb)2=a2a<b)をx軸の周りに回転した図形

x2+(yb)2=a2yについて解くと、y=b±a2x2  (axa)となる。求めるべき曲面積Sは、曲線 y=b+a2x2x軸の周りに回転した図形の曲面積S1と、曲線 y=ba2x2x軸の周りに回転した図形の曲面積S2の和である。よって、S=S1+S2=2πaa(b+a2x2)1+(xa2x2)2 dx    +2πaa(ba2x2)1+(xa2x2)2 dx=2πaa2b1+(xa2x2)2 dx=4πbaaaa2x2 dx=8πab0a1a2x2 dx=8πab[sin1xa]0a=8πab(π20)=4π2ab  (答)と求められる。

±a2x2 の部分で積分が相殺できるところが本問のポイントです。まともに計算しても良いですが、結局は消えてなくなる項なので初めからまとめて一気に積分した方がスマートです。

 


 

復習例題は設定していません。

 


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