問題5.4.5b
次の図形の曲面積を求めよ（$a>0$）。
（３）アステロイド $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ を$x$軸の周りに回転した図形
（４）円 $x^2+(y-b)^2=a^2$（$a<b$）を$x$軸の周りに回転した図形
《ポイント》
$y=f(x)$（$a \leqq x \leqq b$）を$x$軸の周りに回転してできる曲面$K$の曲面積が$$S(K)=2\pi\int^{b}_{a}|{f(x)}|\sqrt{1+{f^{\prime}(x)}^2}dx$$で与えられることを利用します。
《解答例》
（３）アステロイド $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ を$x$軸の周りに回転した図形
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ の両辺を$x$で微分すると、$$\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\dfrac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y^{\ \prime}=0$$となるから、
$$y^{\ \prime}=-\dfrac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$$である。ここで $x=a\cos^3 \theta$、$y=a\sin^3 \theta$ と置くと、$dx=3a\cos^2 \theta \sin \theta \ d\theta$ となるから、
$$\begin{align}S&=2\pi \int^{a}_{-a}(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}\ dx \\ &=4\pi \int^{a}_{0}(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}\ dx \\ &=4\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a(1-\cos^2 \theta)^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}\cdot 3a\cos^2 \theta \sin \theta \ d\theta \\ &=12\pi a^2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4 \theta \cos \theta \ d\theta \\ &=12\pi a^2\left[\dfrac{1}{5}\sin^5 \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &=\dfrac{12}{5}\pi a^2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
（４）円 $x^2+(y-b)^2=a^2$（$a<b$）を$x$軸の周りに回転した図形
$x^2+(y-b)^2=a^2$ を$y$について解くと、$$y=b \pm \sqrt{a^2-x^2}\ \ (-a \leqq x \leqq a)$$となる。求めるべき曲面積$S$は、曲線 $y=b + \sqrt{a^2-x^2}$ を$x$軸の周りに回転した図形の曲面積$S_1$と、曲線 $y=b – \sqrt{a^2-x^2}$ を$x$軸の周りに回転した図形の曲面積$S_2$の和である。よって、$$\begin{align}S&=S_1+S_2 \\ &=2\pi \int^{a}_{-a}\left(b + \sqrt{a^2-x^2}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)^2}\ dx \\ &\ \ \ \ +2\pi \int^{a}_{-a}\left(b – \sqrt{a^2-x^2}\right)\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)^2}\ dx \\ &=2\pi \int^{a}_{-a}2b\sqrt{1+\left(\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)^2}\ dx \\ &=4\pi b\int^{a}_{-a}\dfrac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx \\ &=8\pi ab\int^{a}_{0}\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx \\ &=8\pi ab\left[\sin^{-1}\dfrac{x}{a}\right]^{a}_{0} \\ &=8\pi ab\left(\dfrac{\pi}{2}-0\right) \\ &=4\pi^2 ab \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
※$\pm\sqrt{a^2-x^2}$ の部分で積分が相殺できるところが本問のポイントです。まともに計算しても良いですが、結局は消えてなくなる項なので初めからまとめて一気に積分した方がスマートです。
復習例題は設定していません。