問題5.5.1
ベータ関数、ガンマ関数を用いて、次の値を計算せよ。
（１）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^4 \theta \cos^6 \theta \ d\theta$
（２）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^7 \theta \ d\theta$
（３）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^6 \theta \ d\theta$
（４）$\displaystyle \int^{\pi}_0 \sin^4 \theta \cos^4 \theta \ d\theta$
《ポイント》
ベータ関数 $B(p,q)=\displaystyle \int^{1}_0 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$ とガンマ関数 $\varGamma(s)=\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-x}x^{s-1}dx$ $(s>0)$ の基本的な性質が理解できていれば特に問題無いでしょう。ガンマ関数の計算を素早くできるようにしておくと得点源と化す問題です。
このタイプのの問題ではまず、ベータ関数において $x=\sin^2 \theta$ と置いて得られる公式$$B(p,q)=\displaystyle 2\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta \ d\theta$$を利用して、三角関数の積の積分をベータ関数に翻訳します。これを以下の関係式によってガンマ関数へと更に翻訳します。$$B(p,q)=\dfrac{\varGamma(p)\varGamma(q)}{\varGamma(p+q)}$$あとはガンマ関数を計算するだけで積分値が求められます。以上の一連の手法は以下のように一本の公式に集約することができます。$$\begin{align} \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^a \theta \cos^b \theta \ d\theta &= \dfrac{1}{2}B\left(\dfrac{a+1}{2},\dfrac{b+1}{2} \right) \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\varGamma\left(\dfrac{a+1}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{b+1}{2}\right)}{\varGamma\left(\dfrac{a+b}{2}+1\right)} \end{align}$$これを利用して解答しましょう。計算の際は$$\varGamma\left(\dfrac{s}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{s+1}{2}\right)=2^{1-s}\sqrt{\pi}\varGamma(s)$$や、$$\varGamma\left(s\right)\varGamma\left(1-s\right)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi s)}$$などの性質を利用します。
《解答例》
（１）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^4 \theta \cos^6 \theta \ d\theta$
公式において $a=4$、$b=6$ とすればよいから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^4 \theta \cos^6 \theta \ d\theta \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\varGamma\left(\dfrac{5}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{7}{2}\right)}{\varGamma\left(6\right)} \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{3}{4}\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{15}{8}\sqrt{\pi}}{5!} \\ &=\dfrac{3}{512}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
※$n$を正の整数とするとき、$\varGamma\left(\dfrac{2n+1}{2}\right)=\dfrac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$ と計算できます。
（２）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^7 \theta \ d\theta$
公式において $a=5$、$b=7$ とすればよいから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^7 \theta \ d\theta \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\varGamma\left(3\right)\varGamma\left(4\right)}{\varGamma\left(7\right)} \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2! \cdot 3!}{6!} \\ &=\dfrac{1}{120} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（３）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^6 \theta \ d\theta$
公式において $a=5$、$b=6$ とすればよいから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 \theta \cos^6 \theta \ d\theta \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\varGamma\left(3\right)\varGamma\left(\dfrac{7}{2}\right)}{\varGamma\left(\dfrac{13}{2}\right)} \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2! \cdot \dfrac{5!!}{2^3}\sqrt{\pi}}{\dfrac{11!!}{2^6}\sqrt{\pi}} \\ &=\dfrac{8}{693} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（４）$\displaystyle \int^{\pi}_0 \sin^4 \theta \cos^4 \theta \ d\theta$
公式において $a=4$、$b=4$ とすればよいから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \int^{\pi}_0 \sin^4 \theta \cos^4 \theta \ d\theta \\ &=2\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^4 \theta \cos^4 \theta \ d\theta \\ &=\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{5}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{5}{2}\right)}{\varGamma\left(5!\right)} \\ &=\dfrac{\left(\dfrac{3!!}{2^2}\sqrt{\pi}\right)^2}{4!} \\ &=\dfrac{3}{128}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
※積分範囲に要注意。
復習例題は設定していません。