問題5.5.3
次の積分をガンマ関数を用いて表せ。
（１）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$
（２）$\displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}(1-x^b)^{3}dx$
（３）$\displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}\left(\log\dfrac{1}{x}\right)^{b-1}dx$
（４）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^{b}}{(1+x)^{a+3}}dx$
《ポイント》
適切な置換によりガンマ関数へと翻訳します。
《解答例》
（１）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}}$
$t=x^5$ と置くと $dt=5x^4 dx$ より、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^5}} &=\dfrac{1}{5} \int^{1}_0 t^{-\frac{4}{5}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt \\
&=\dfrac{1}{5}B\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{1}{5}\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{5\ \varGamma\left(\dfrac{7}{10}\right)} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と表せる。
（２）$\displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}(1-x^b)^{3}dx$
$t=x^b$ と置くと $dt=bx^{b-1} dx$ より、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}(1-x^b)^{3}dx
&=\dfrac{1}{b} \int^{1}_0 t^{\frac{a}{b-1}}(1-t)^{3}dt \\
&=\dfrac{1}{b}B\left(\dfrac{a}{b},4\right) \\
&=\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{a}{b}\right)\varGamma\left(4\right)}{b\ \varGamma\left(\dfrac{a}{b}+4\right)} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と表せる。
（３）$\displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}\left(\log\dfrac{1}{x}\right)^{b-1}dx$
$t=\log\dfrac{1}{x}$ と置くと $x=e^{-t}$ となるから $dx=-e^{-t}dt$ である。よって、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 x^{a-1}\left(\log\dfrac{1}{x}\right)^{b-1}dx
&=\int^{0}_{\infty} e^{-(a-1)t}t^{b-1}(-e^{-t})dt \\
&=\int^{\infty}_0 e^{-at}t^{b-1}dt \end{align}$$となる。ここで更に $u=at$ と置くと $du=adt$ となるから、
$$\begin{align} \displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-at}t^{b-1}dt&=\int^{\infty}_0 e^{-u}\left(\dfrac{u}{a}\right)^{b-1}\dfrac{1}{a}du \\
&=\dfrac{1}{a^b}\int^{\infty}_0 e^{-u}u^{b-1}du \\
&=\dfrac{1}{a^b}\varGamma(b) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と表せる。
（４）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^{b}}{(1+x)^{a+3}}dx$
$t=\dfrac{1}{1+x}$ と置くと $x=\dfrac{1}{t}-1$ となるから $dx=-\dfrac{1}{t^2}dt$ である。よって、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^{b}}{(1+x)^{a+3}}dx
&=\int^{1}_0 \left(\dfrac{1-t}{t}\right)^{b}t^{a+3}\dfrac{-1}{t^2}dt \\
&=\int^{1}_0 t^{a-b+1}(1-t)^{b}dt \\
&=B(a-b+2,b+1) \\
&=\dfrac{\varGamma(a-b+2)\varGamma(b+1)}{\varGamma(a+3)} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と表せる。
復習例題は設定していません。