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問題5.5.3

次の積分をガンマ関数を用いて表せ。

（１）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^5}}}}$

（２）${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x^b{)}^{3}dx}$

（３）${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}{(\log {\displaystyle \frac{1}{x}})}^{b-1}dx}$

（４）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^b}{(1+x{)}^{a+3}}}dx}$

 

《ポイント》

適切な置換によりガンマ関数へと翻訳します。

 

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《解答例》

（１）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^5}}}}$

$t=x^5$ と置くと $dt=5x^{4}dx$ より、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^5}}}}& ={\displaystyle \frac{1}{5}}{\int }_0^1{t}^{-\frac{4}{5}}(1-t{)}^{-\frac{1}{2}}dt\\ & ={\displaystyle \frac{1}{5}}B({\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ & ={\displaystyle \frac{\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{5\Gamma \left({\displaystyle \frac{7}{10}}\right)}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と表せる。

 

（２）${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x^b{)}^{3}dx}$

$t=x^b$ と置くと $dt=b{x}^{b-1}dx$ より、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x^b{)}^{3}dx}& ={\displaystyle \frac{1}{b}}{\int }_0^1{t}^{\frac{a}{b-1}}(1-t{)}^{3}dt\\ & ={\displaystyle \frac{1}{b}}B({\displaystyle \frac{a}{b}},4)\\ & ={\displaystyle \frac{\Gamma \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)\Gamma \left(4\right)}{b\Gamma ({\displaystyle \frac{a}{b}}+4)}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と表せる。

 

（３）${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}{(\log {\displaystyle \frac{1}{x}})}^{b-1}dx}$

$t=\log {\displaystyle \frac{1}{x}}$ と置くと $x=e^{-t}$ となるから $dx=-e^{-t}dt$ である。よって、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{x}^{a-1}{(\log {\displaystyle \frac{1}{x}})}^{b-1}dx}& ={\int }_{\mathrm{\infty }}^0{e}^{-(a-1)t}{t}^{b-1}(-e^{-t})dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{t}^{b-1}dt\end{array}$$となる。ここで更に $u=at$ と置くと $du=adt$ となるから、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{t}^{b-1}dt}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}{\left({\displaystyle \frac{u}{a}}\right)}^{b-1}{\displaystyle \frac{1}{a}}du\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a^b}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}{u}^{b-1}du\\ & ={\displaystyle \frac{1}{a^b}}\Gamma (b)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と表せる。

 

（４）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^b}{(1+x{)}^{a+3}}}dx}$

$t={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ と置くと $x={\displaystyle \frac{1}{t}}-1$ となるから $dx=-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}dt$ である。よって、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^b}{(1+x{)}^{a+3}}}dx}& ={\int }_0^1{\left({\displaystyle \frac{1-t}{t}}\right)}^b{t}^{a+3}{\displaystyle \frac{-1}{t^2}}dt\\ & ={\int }_0^1{t}^{a-b+1}(1-t{)}^{b}dt\\ & =B(a-b+2,b+1)\\ & ={\displaystyle \frac{\Gamma (a-b+2)\Gamma (b+1)}{\Gamma (a+3)}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と表せる。

 

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復習例題は設定していません。

 

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