微積5.5.4

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問題5.5.4

定理5.5.4を用いて、次の積分の値を求めよ。

(1)0dx1+x3

(2)0dx1+x4

(3)0π2tanθ dθ

(4)01dx1x44

 

《ポイント》

教科書の定理5.5.4Γ(s2)Γ(s+12)=21sπΓ(s)および、Γ(s)Γ(1s)=πsin(πs)を利用します。

なお、(1)と(2)は教科書の例題5.5.2の結果を利用します。即ち、

0xb11+xa=1aΓ(1ba)Γ(ba)a>b>0

の関係を公式として使います。これは t=11+xa と置くことによって得られます。

 


 

《解答例》

(1)0dx1+x3

例題5.5.2の結果において a=3b=1 とすると、

0dx1+x3=13Γ(113)Γ(13)=13πsin(π3)=239π  (答)

 

(2)0dx1+x4

例題5.5.2の結果において a=4b=1 とすると、

0dx1+x3=14Γ(114)Γ(14)=14πsin(π4)=24π  (答)

 

(3)0π2tanθ dθ

t=tanθ と置くと t:0dθ=dt1+t2 となるから、0π2tanθ dθ=0t1+t2dt
ここで u=11+t2 と置くと u:01dt=du2uu1u となるから、0t1+t2dt=10u(1uu)14(du2uu1u)=1201u34(1u)14du=12B(14,34)=12Γ(14)Γ(34)Γ(1)=12πsin(π4)=22π  (答)

 

(4)01dx1x44

t=x4 と置くと t:01dx=dt4t34 となるから、01dx1x44=101(1t)14dt4t34=1401t34(1t)14dt=14B(14,34)=14Γ(14)Γ(34)Γ(1)=14πsin(π4)=24π  (答)

 


 

復習例題は設定していません。

 


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