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問題5.5.4

定理5.5.4を用いて、次の積分の値を求めよ。

（１）${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^3}}}$

（２）${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^4}}}$

（３）${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\tan \theta }d\theta }$

（４）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}}}$

 

《ポイント》

教科書の定理5.5.4$$\Gamma \left({\displaystyle \frac{s}{2}}\right)\Gamma \left({\displaystyle \frac{s+1}{2}}\right)=2^{1-s}\sqrt{\pi }\Gamma (s)$$および、$$\Gamma \left(s\right)\Gamma (1-s)={\displaystyle \frac{\pi }{\sin (\pi s)}}$$を利用します。

なお、（１）と（２）は教科書の例題5.5.2の結果を利用します。即ち、

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^{b-1}}{1+x^a}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\Gamma (1-{\displaystyle \frac{b}{a}})\Gamma \left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}$（$a>b>0$）

の関係を公式として使います。これは $t={\displaystyle \frac{1}{1+x^a}}$ と置くことによって得られます。

 

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《解答例》

（１）${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^3}}}$

例題5.5.2の結果において $a=3$、$b=1$ とすると、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^3}}}& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\Gamma (1-{\displaystyle \frac{1}{3}})\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\pi \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（２）${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^4}}}$

例題5.5.2の結果において $a=4$、$b=1$ とすると、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^3}}}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\Gamma (1-{\displaystyle \frac{1}{4}})\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\pi \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（３）${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\tan \theta }d\theta }$

$t=\tan \theta$ と置くと $t:0\to \mathrm{\infty }$、$d\theta ={\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}$ となるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\tan \theta }d\theta }& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{1+t^2}}dt\end{array}$$
ここで $u={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ と置くと $u:0\to 1$、$dt=-{\displaystyle \frac{du}{2u\sqrt{u}\sqrt{1-u}}}$ となるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{1+t^2}}dt}& ={\int }_1^{0}u{\left({\displaystyle \frac{1-u}{u}}\right)}^{\frac{1}{4}}(-{\displaystyle \frac{du}{2u\sqrt{u}\sqrt{1-u}}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{u}^{-\frac{3}{4}}(1-u{)}^{-\frac{1}{4}}du\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}B({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\Gamma \left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}{\Gamma (1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\pi \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（４）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}}}$

$t=x^4$ と置くと $t:0\to 1$、$dx={\displaystyle \frac{dt}{4t^{\frac{3}{4}}}}$ となるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}}}& ={\int }_1^0{\displaystyle \frac{1}{(1-t{)}^{\frac{1}{4}}}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{4t^{\frac{3}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_0^1{t}^{-\frac{3}{4}}(1-t{)}^{-\frac{1}{4}}dt\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}B({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\Gamma \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\Gamma \left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}{\Gamma (1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\pi \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

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復習例題は設定していません。

 

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