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問題1.1.5a

（１）$\sqrt{2}$は有理数でないことを示せ。

（２）$0.999999\cdots =1$であることを示せ。

 

《ポイント》

（１）では背理法を用いるのが簡単です。$\sqrt{2}$が有理数であると仮定して矛盾を導きます。

また（２）は表記法の問題であって、極限の定義そのものを示せばよいだけです。

 

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《解答例》

（１）

$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると、互いに素な２つの自然数$p、q$を用いて$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すことができる。両辺に$q$を乗じ、両辺正なので２乗すると$$2q^2=p^2$$となる。左辺は$2$の倍数だから右辺も$2$の倍数でなければならない。よって$p=2r(r\in \mathbb{N})$と置けて、これを代入すると$$q^2=2r^2$$となり、同様に$q$も$2$の倍数であることが必要となる。しかし$p、q$がともに偶数となることは$p、q$が互いに素な自然数であることに矛盾する。

したがって$\sqrt{2}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}$は無理数である。

 

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（２）

数列$\{a_n\}$を$a_n=1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}$と定めると${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0.999999\cdots }$である。

また、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}=0}$であるから、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1}$である。

故に$0.999999\cdots =1$である。

 

《別解》

$a=0.999999\cdots$と置くと、

$\begin{array}{rl}10a& =9.999999\cdots \\ -)a& =0.999999\cdots \\ \\ 9a& =9\end{array}$

$$\therefore a=1$$

故に$0.999999\cdots =1$である。

 

 

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復習例題1.1.5a

　$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は有理数でないことを示せ。

 

＞＞解答・解説

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