微積1.1.4

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問題1.1.4

 次の集合の最大、最小、上限、下限を求めよ。

(1)$A=[-2,4)$

(2)$A=\{ 1-\dfrac{1}{n}|n \in \mathbb{N} \}$

(3)$A=\{ \dfrac{1}{n}-n|n \in \mathbb{N} \}$

 

《ポイント》

最大、最小、上限、下限の定義については教科書を参照してください。図を描いたり不等関係を導いたりすると分かりやすくなります。

特に最大、最小は等号関係が成立するときに存在します。数列で与えられた場合は、まずどのような挙動を示すか、例えば単調増加なのか、単調減少なのか、という点について調べます。

 


 

《解答例》

(1)

$A$に含まれるある要素$x$について$-2 \leqq x < 4$であるから、

$\therefore \max{A}=\emptyset$(存在しない)、$\min{A}=-2、\sup{A}=4、\inf{A}=-2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

 

(2)

$a_n=1-\dfrac{1}{n}$は単調増加数列であり、初項は$0$、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=1$であるから、$A$に含まれるある要素$x$について$0 \leqq x < 1$である。

$\therefore \max{A}=\emptyset$、$\min{A}=0、\sup{A}=1、\inf{A}=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

 

(3)

$a_n=\dfrac{1}{n}-n$は単調減少数列であり、初項は$0$、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n= -\infty$であるから、$A$に含まれるある要素$x$について$-\infty < x \leqq 0$である。

$\therefore \max{A}=0$、$\min{A}=\emptyset、\sup{A}=0、\inf{A}=-\infty \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

 


 

《コメント》

最大、最小、上限、下限は単純な考え方ですが、しっかり理解しておきましょう。

 


 

復習例題1.1.4

 次の集合の最大、最小、上限、下限を求めよ。

(1)$A=(0,1)$

(2)$A=\{ 1-\dfrac{1}{n^2}|n \in \mathbb{N} \}$

(3)$A=\{ \dfrac{n^2+1}{n}|n \in \mathbb{N} \}$

 

>>解答・解説


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