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問題2.2.1b

次の不等式を示せ。

（３）${\displaystyle \frac{x}{1+x}}<{\tan }^{-1}x<x(x>0)$

（４）$x-\sin x<\tan x-x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

 

《ポイント》

不等式の証明には差を取る、比を取る、絶対不等式を利用するなどの方法がありますが、ここでは微分により関数の大小関係を調べます。

 

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《解答例》

（３）

${\displaystyle \frac{x}{1+x}}<{\tan }^{-1}x<x(x>0)$を示す。

$f(x)={\tan }^{-1}x-{\displaystyle \frac{x}{1+x}}(x\geqq 0)$とすると、

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}+{\displaystyle \frac{2x^2}{(1+x^2{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2x^2}{(1+x^2{)}^2}}>0\end{array}$

である。これと$f(0)=0$より、$f(x)>0$である。

故に ${\displaystyle \frac{x}{1+x}}<{\tan }^{-1}x$ が成り立つ。

また、$g(x)=x-{\tan }^{-1}x(x\geqq 0)$とすると、
$g^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}>0$である。これと$g(0)=0$より、$g(x)>0$である。

故に ${\tan }^{-1}x<x$が成り立つ。

以上より ${\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}<{\tan }^{-1}x<x(x>0)$が示された。

 

（４）

$x-\sin x<\tan x-x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を示す。

$f(x)=\tan x-x-(x-\sin x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とすると、

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}+\cos x-2\\ & >{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}+\cos x-2\cdots (\ast )\\ & >2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\cdot \cos x}-2=0\end{array}$

である（最後の変形で相加相乗平均の関係を用いた）。これと$f(0)=0$より、$f(x)>0$である。
以上より$x-\sin x<\tan x-x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が示された。

 

【（４）$(\ast )$以降の別解】

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}+\cos x-2\\ & ={\displaystyle \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+\cos x-1\\ & ={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+\cos x-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)\\ & ={\sin }^{2}x({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1)+\cos x(1-\cos x)\end{array}$

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1>0$　かつ　$1-\cos x>0$より、$f^{\prime }(x)>0$

（以下同じ）

 

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復習例題未設定

 

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