微積2.2.2 - 理系のための備忘録

問題2.2.2

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

（１） $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

（２） $f (x) = x + \sqrt{1 - x^{2}}$

《ポイント》

不等式の証明には差を取る、比を取る、絶対不等式を利用するなどの方法がありますが、ここでは微分により関数の大小関係を調べます。単純に単調性を利用できない場合（増減が変動する場合）は、必要に応じて増減表を利用して議論しましょう。

《解答例》

（１）

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{2}{1 + x}$ である。

$x^{2} + 1 ≧ 1 (x = 0)$ より、 $\frac{2}{1 + x} ≦ 2$

$∴ 1 - \frac{2}{1 + x} ≧ - 1$ 　（等号成立は $x = 0$ のとき）

故に $f (x) ≧ - 1$ であるから、

　最大値　なし、

　最小値　 $x = 0$ のとき $- 1$ 　･･･（答）

【微分による方法（多分こっちが正統派）】

$f^{'} (x) = {(1 - \frac{2}{1 + x})}^{´} = \frac{4 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ より、増減表は以下。

故に $f (x) ≧ - 1$ であるから、

　最大値　なし、

　最小値　 $x = 0$ のとき $- 1$ 　･･･（答）

（２）

$f (x) = x + \sqrt{1 - x^{2}} (- 1 ≦ x ≦ 1)$ であるから、 $f^{'} (x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ となる。

$f^{'} (x) = 0$ 、即ち $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 1$ となる $x$ を $x > 0$ において
求めると $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。よって増減表は以下。

表より、

最大値 $\sqrt{2} (x = \frac{1}{\sqrt{2}})$ 、

最小値 $- 1 (x = - 1)$ 　･･･（答）

復習例題未設定