微積3.1.2b

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問題3.1.2b

　次の定積分の値を求めよ。

（５）${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^4+1}}dx}$

（６）${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^2}}dx}$

（７）${\displaystyle {\int }_0^{2}x\log (x^2+1)dx}$

（８）${\displaystyle {\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx}$

 

《ポイント》

いずれも置換積分をしなければかなり苦戦を強いられる問題です。どこをどう置き換えれば上手く計算できるかは、ある程度の量の問題をこなさなければ身に付きません。一発で積分出来そうにない場合は部分積分との併用も考えなければなりません。微分した後の関数の形も考えながら置き換えを実行します。

 

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《解答例》

（５）

${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^4+1}}dx}$

$x^2=t$と置くと、$xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}dt$、

$x:0\to 1$、$t:0\to 1$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{x^4+1}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{t^2+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}dt}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{[{\tan }^{-1}t]}_0^1\\ & ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（６）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^2}}dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{(1+x^2{)}^{\prime }}{(1+x^2{)}^2}}dx}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^2{\left({\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\right)}^{\prime }dx}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\right]}_0^2\\ & ={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$1+x^2=t$と置くと、$xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}dt$、
$x:0\to 2$、$t:1\to 5$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^2}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_1^5{{\displaystyle \frac{1}{t}}}^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}dt}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[{\displaystyle \frac{1}{t}}\right]}_1^5\\ & ={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（７）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{2}x\log (x^2+1)dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^2(x^2+1{)}^{\prime }\log (x^2+1)dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{[(x^2+1)\log (x^2+1)]}_0^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{2}2xdx}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}}\log 5-2\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（８）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_1^2(x^2{)}^{\prime }{e}^{x^2}dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[e^{x^2}\right]}_1^2\\ & ={\displaystyle \frac{e}{2}}(e^3-1)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$x^2=t$と置くと、$xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}dt$、
$x:1\to 2$、$t:1\to 4$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_1^4{e}^t\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}dt}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[e^t\right]}_1^4\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^4-{\displaystyle \frac{1}{2}}e\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

 

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＞＞解答・解説

 

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