復習例題3.1.2b
定積分$\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\,dx$の値を求めよ。
《ポイント》
何を置換すればよいかが見えれば一直線です。ただし被積分関数の符号に注意。
《解答例》
$x-1={{y}^{2}}$ と置くと、$dx=2y\,dy$ であり積分区間は $y: 0 \to 1$ となるから$$\displaystyle \begin{aligned} & \quad \int_{1}^{2}{\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}\,dx \\ &=2\int_{0}^{1}{y\sqrt{1+y^2-2y}}\,dy \\ &=2\int_{0}^{1}{y\sqrt{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}}dy \\ &=2\int_{0}^{1}{y\left| y-1 \right|}dy \\ &=2\int_{0}^{1}{y(1-y)dy} \\ &=2\left[\dfrac{1}{2}y^2-\dfrac{1}{3}y^3\right]_{0}^{1} \\ &=\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$より、求める値は
$$\dfrac{1}{3} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
となる。