数列 - 理系のための備忘録

創作整数問題#94解法＆創作整数問題#95

今回は、前回の問題に登場した定数$\dfrac12$を少し動かしてみます。数列に平方数が現れるかどうかは、この定数とどのように関係しているのでしょうか。

以前、「tan1°の厳密値を求めれば京大の伝説の問題は解けるのか」という記事で、$\tan 1^\circ$の値を無理やり求めてみました。複素数の3乗根まで持ち出したものの、得られた式から無理数性を示すのは難しい、という結論でした。

その記事に、読者の方から「1°ずつ角度を変える加法定理を、数列の漸化式として考えてみてはどうか」というご提案をいただきました。今回はこの方針で、$\sin(n^\circ)$、$\cos(n^\circ)$、$\tan(n^\circ)$の一般項を求めてみようと思います。

実数の三角関数を扱っているはずなのに、漸化式を解く途中で複素数が現れます。しかも、京大の問題そのものは、一般項を最後まで求めなくても解けてしまいます。

今回は対称性のある連立漸化式に関する問題を紹介します。

共通テストが一段落し、二次試験に向けてスパートを掛けていく時期になりましたね。全力で春を迎えに行きましょう。

先週末は久し振りに賑やかなクリスマスでした。街もコロナ以前と遜色ないくらいに人通りが増えてきたように思います。

今年の東大では文系数学でも2次の2項間漸化式に関する整数問題が出題されました。こちらは隣接する3項の最大公約数がテーマです。

今年も2次試験のシーズンがやってきました。今年の東大理系数学では2次の漸化式に関する整数問題が出題されました。因みに、2次の漸化式は英語で “quadratic recurrence (equation)” などと呼ばれます。

前回の記事で扱った各位の数字にゼロが現れない数 “zeroless number” から派生する話題です。

各位の数字にゼロが現れない数 “zeroless number” についての話題です。

入力された任意の初期値からコラッツ数列を計算します。 “コラッツ数列を計算するアプリ” の続きを読む