復習例題1.1.5a

　$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は有理数でないことを示せ。

 

《ポイント》

基本的に前頁と同じです。$\sqrt{2}$が無理数であること既知としなければ2乗操作を二回行えばＯＫです。

 

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《解答例》（$\sqrt{2}$が無理数であることを既知とする場合）

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$が有理数であると仮定すると、互いに素な２つの自然数$p、q$を用いて$\sqrt{2}+\sqrt{3}={\displaystyle \frac{p}{q}}(p>q)$と表すことができる。$\sqrt{2}$を移項し、両辺正なので２乗すると$$3={\displaystyle \frac{p^2}{q^2}}-2\sqrt{2}{\displaystyle \frac{q}{p}}+2$$となる。これを$\sqrt{2}$について整理すると

$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p^2-q^2}{2pq}}$　･･････（＊）

となる。$p^2-q^2$も$2pq$も整数だから右辺は有理数である。ところがこれは$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾し不合理である。

したがって$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は無理数である。

 

《解答例》（$\sqrt{2}$が無理数であることを既知としない場合）

（（＊）までは上に同じ）

（＊）より、$2pq\sqrt{2}=p^2-q^2$となる。$p>q$より両辺正なので２乗すると$$8p^2{q}^2=p^4-2p^2{q}^2+q^4$$ $$\therefore (10q^2-p^2)p^2=q^4$$となるが左辺が$p$の倍数となっており$p、q$が互いに素な２つの自然数であることに矛盾する。

したがって$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は無理数である。

 

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《コメント》

受験数学の範囲ですね。特に難しい操作は必要ありません。解答例では$\sqrt{2}$を主役にしましたが、2乗の際に$\sqrt{3}$を残しても同様の議論が可能です。

 

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