培風館『入門微分積分』第1章・問題1.2.5の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.2.5
$x^5-3x^4+1=0$は$(-1,0)$、$(0,1)$、$(1,3)$の各区間に解を持つことを示せ。
解法の要点
中間値の定理を利用を考えます。丸括弧は開区間を表していますので、端点を含む閉区間に中間値の定理を適用し端点で$0$でないことを示す、あるいはより狭い閉区間を設定して中間値の定理を適用すれば示せます。
解答例
まず関数$f(x)=x^5-3x^4+1$は任意の実数$x$について連続である。
$f(x)$について$f(-1)=-3$、$f(0)=1$、$f(1)=-1$、$f(3)=1$であるから、中間値の定理より$f(x)=0$は各閉区間$[-1,0]$、$[0,1]$、$[1,3]$において少なくとも１つの解を持つ。
《コメント》
中間値の定理というのは、連続な関数なら感覚的に当たり前に成り立つことを主張しているだけです。感覚的な理解というのは、例えば以下のようなものです。
紙の上に２つの点を描いて、その点の間を通るように直線を１本だけ引いてください。次に２点を結ぶ曲線を描いてみましょう。するとどんな曲線でも必ずその直線と少なくとも１回は交わります。これが中間値の定理の主張です。
（※「直線」というのは無限に長く、太さの概念が無い真っ直ぐな線のことです）
復習例題1.2.5
$\sin (\cos x)=0$は区間$(0,\pi)$に解を持つことを示せ。