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問題1.3.1

次の値を求めよ。

（１）${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

（２）${\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

（３）${\tan }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$

（４）${\cos }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

 

《ポイント》

教科書でも三角関数の逆関数である「逆三角関数」について説明されていますが、ここで重要なのはその定義域です。${\sin }^{-1}x$と${\cos }^{-1}x$は$-1\leqq x\leqq 1$で定義され、${\tan }^{-1}x$は$-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$（全実数）で定義されます。また、これに伴って値域はそれぞれ以下のようになります。

$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\sin }^{-1}x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}、0\leqq {\cos }^{-1}x\leqq \pi 、-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\tan }^{-1}x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$

それぞれのグラフの形を覚えておくというより、普通の三角関数のグラフを$y=x$に関して反転させる、と考えた方が分かりやすいと思います。逆三角関数はある程度慣れも必要です。

 

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《解答例》

（１）

${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}=\theta$と置く。$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、

$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdots \cdots (\text{答})$$

を得る。

 

（２）

${\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})=\theta$と置く。$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$\theta$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で求めると、

$$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdots \cdots (\text{答})$$

を得る。

 

（３）

${\tan }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})=\theta$と置く。$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$\theta$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で求めると、

$$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\cdots \cdots (\text{答})$$

を得る。

 

（４）

${\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})=\theta$と置く。$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、

$$\theta ={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi \cdots \cdots (\text{答})$$

を得る。

 

 

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《コメント》

いずれも有名角です。

 

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復習例題1.3.1

次の値を求めよ。

（１）$\cos ({\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

（２）${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

（３）${\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

 

＞＞解答・解説

 

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