微積2.4.2

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問題2.4.2

次の関数の有限マクローリン展開を求めよ。

（１）$y=\cos x$ $(n=2m)$

（２）$y=\sin x$ $(n=2m+1)$

（３）$y=e^{2x}$

（４）$y=\log (1+x)$

 

《ポイント》

$0<\theta <1$を満たす実数$\theta$を用いて
$$f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}}{x}^n$$と表すことを「有限マクローリン展開」と呼びます。本問では和の形で求めます。テイラー展開については「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページも参考にして下さい。

 

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《解答例》

（１）

$f(x)=\cos x$とすると、
$$f^{(n)}(x)=\cos (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$$より、$$f^{(n)}(0)=\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$$ となるから、

$$\begin{array}{rl}& \cos x=\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+{\displaystyle \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}}{x}^n\\ & =\sum _{k=0}^{2m-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+{\displaystyle \frac{\cos (\theta x+m\pi )}{(2m)!}}{x}^{2}m\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4!}}{x}^4-\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^m\cos (\theta x)}{(2m)!x^{2}m}}\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{(2k)!}}{x}^{2}k+{\displaystyle \frac{(-1{)}^m\cos (\theta x)}{(2m)!x^{2}m}} \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（２）

$f(x)=\sin x$とすると、
$$f^{(n)}(x)=\sin (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$$より、$$f^{(n)}(0)=\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$$ となるから、

$$\begin{array}{rl}& \sin x\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+{\displaystyle \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}}{x}^n\\ & =\sum _{k=0}^{2m}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+\sin {\displaystyle \frac{\theta x+m\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{(2m+1)!}}{x}^{2m+1}\\ & =x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5!}}{x}^5-\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^m\cos (\theta x)}{(2m+1)!}}{x}^{2m+1}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(\because \sin (\theta x+m\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =(-1{)}^m\sin (\theta x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & =(-1{)}^m\cos (\theta x))\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& =\sum _{k=0}^{m-1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}}{x}^{2k+1}\\ & +{\displaystyle \frac{(-1{)}^m\cos (\theta x)}{(2m+1)!}}{x}^{2m+1} \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（３）

$f(x)=e^{2x}$とすると、
$$f^{(n)}(x)=2^n{e}^{2x}$$ より、$$f^{(n)}(0)=2^n$$ となるから、

$$\begin{array}{rl}{e}^{2x}& =\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+{\displaystyle \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}}{x}^n\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{2^k}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{2^n{e}^2\theta x}{n!}}{x}^n \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

（４）

$f(x)=\log (1+x)$とすると、
$$f^{(n)}(x)=(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1)!\cdot (1+x{)}^{-n}$$ より、
$$f^{(n)}(0)=(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1)!$$となるから、

$$\begin{array}{rl}& \log (1+x)\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!x^k}}+{\displaystyle \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}}{x}^n\\ & =0+\sum _{k=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}\cdot (k-1)!}{k!}}{x}^k\\ & +{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1)!\cdot (1+\theta x{)}^{-n}}{n!}}{x}^n\\ & =\sum _{k=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}{x}^k+{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}(1+\theta x{)}^{-n}}{n}}{x}^n \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$

 

 

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復習例題未設定

 

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