問題2.4.2
次の関数の有限マクローリン展開を求めよ。
（１）$y=\cos x$ $(n=2m)$
（２）$y=\sin x$ $(n=2m+1)$
（３）$y=e^{2x}$
（４）$y=\log (1+x)$
《ポイント》
$0<\theta<1$を満たす実数$\theta$を用いて
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n$$と表すことを「有限マクローリン展開」と呼びます。本問では和の形で求めます。テイラー展開については「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページも参考にして下さい。
《解答例》
（１）
$f(x)=\cos x$とすると、
$$f^{(n)} (x)=\cos \left( x+\dfrac{n\pi}{2} \right) $$より、$$f^{(n)} (0)=\cos \dfrac{n\pi}{2}$$ となるから、
$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \cos x=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k} +\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n \\
&=\sum_{k=0}^{2m-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k}+\dfrac{\cos(\theta x+m\pi)}{(2m)!}x^2m \\
&=1-\dfrac{1}{2!} x^2+\dfrac{1}{4!} x^4-\cdots+\dfrac{(-1)^m \cos(\theta x)}{(2m)!x^2m} \\
&=\sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{(-1)^k}{(2k)!} x^2k+\dfrac{(-1)^m \cos(\theta x)}{(2m)!x^2m} \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$$
（２）
$f(x)=\sin x$とすると、
$$f^{(n)} (x)=\sin \left( x+\dfrac{n\pi}{2} \right)$$より、$$f^{(n)} (0)=\sin \dfrac{n\pi}{2}$$ となるから、
$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \sin x \\ &=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k} +\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n \\
&=\sum_{k=0}^{2m} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k}+\sin \dfrac{\theta x+m\pi+\dfrac{\pi}{2}}{(2m+1)!} x^{2m+1} \\
&=x-\dfrac{1}{3!} x^3+\dfrac{1}{5!} x^5-\cdots+\dfrac{(-1)^m \cos(\theta x)}{(2m+1)!} x^{2m+1}\end{align}$$
$$\begin{align} \ \ \ \ \ (∵\sin(\theta x+m\pi+\dfrac{\pi}{2})&=(-1)^m \sin \left( \theta x+\dfrac{\pi}{2} \right)\\ &=(-1)^m \cos(\theta x) )\end{align}$$
$$\begin{align} &=\sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}\\ & \ \ \ \ \ \ \ +\dfrac{(-1)^m \cos(\theta x)}{(2m+1)!} x^{2m+1} \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$$
（３）
$f(x)=e^{2x}$とすると、
$$f^{(n)} (x)=2^n e^{2x}$$ より、$$f^{(n)} (0)=2^n$$ となるから、
$$\begin{align}e^{2x} &=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k}+\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n \\
&=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{2^k}{k!} x^k+\dfrac{2^n e^2\theta x}{n!} x^n \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$$
（４）
$f(x)=\log(1+x)$とすると、
$$f^{(n)} (x)=(-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (1+x)^{-n}$$ より、
$$f^{(n)} (0)=(-1)^{n-1} \cdot (n-1)!$$となるから、
$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \log(1+x)\\
&=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k}+\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n \\
&=0+\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{(-1)^{k-1} \cdot (k-1)!}{k!} x^k \\ & \ \ \ \ \ +\dfrac{(-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (1+\theta x)^{-n}}{n!} x^n \\
&=\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} x^k +\dfrac{(-1)^{n-1} (1+\theta x)^{-n}}{n}x^n \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$$
復習例題未設定