問題3.1.1a
次の不定積分を求めよ。
（１）$\displaystyle \int \dfrac{dx}{e^x+e^{-x}}$
（２）$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x \log x}$
（３）$\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+3x}}$
（４）$\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2} dx$
《ポイント》
数Ⅲの計算問題です。置換積分、部分積分などは最低限身に付けておく必要があります。
《解答例》
（１）
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{e^x+e^{-x}}$
$e^x=t$と置くと、$e^x dx=dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{e^{2x}+1} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{t^2+1} dt \\
&= \tan ^{-1} t+C \\
&= \tan ^{-1} (e^x )+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$e^x= \tan \theta $ と置くと、$e^x dx=\dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta $であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{e^x}{e^{2x}+1} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan ^2 \theta +1} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta \\
&= \theta +C \\
&= \tan ^{-1} (e^x)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x \log x}$
$\log x=t$と置くと、 $\dfrac{1}{x} dx=dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x \log x} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{t} dt \\
&= \log t+C \\
&= \log | \log x |+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x \log x} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{( \log x )´}{\log x} dx \\
&= \log | \log x |+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（３）
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+3x}}$
$1+3x=t$と置くと、$3dx=dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+3x}} \\
&=\dfrac{1}{3} \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt t} dt \\
&=\dfrac{1}{3} \displaystyle \int t^{-\frac{1}{2}} dt \\
&=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{1} t^{\frac{1}{2}}+C \\
&=\dfrac{2}{3} \sqrt{1+3x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\sqrt{1+3x}=t$と置くと、$dx=\dfrac{2}{3} t dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+3x}} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{t} \cdot \dfrac{2}{3} tdt \\
&=\dfrac{2}{3} t+C \\
&=\dfrac{2}{3} \sqrt{1+3x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（４）
$\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2} dx$
$1-x^2=t$と置くと、$xdx=-\dfrac{1}{2} dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x\sqrt{1-x^2} dx \\
&=\displaystyle \int \sqrt t \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right )dt \\
&=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C \\
&=-\dfrac{1}{3} (1-x^2 )^{\frac{3}{2}}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$x= \sin \theta $ と置くと、$dx= \cos \theta d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x\sqrt{1-x^2} dx \\
&=\displaystyle \int \sin \theta \sqrt{1- \sin^{2} \theta } \cos \theta d \theta \\
&=\displaystyle \int \sin \theta \cos^{2} \theta d \theta \\
&=-\displaystyle \int ( \cos \theta )´ \cos^{2} \theta d \theta \\
&=-\dfrac{1}{3} \cos ^3 \theta +C \\
&=-\dfrac{1}{3} (\sqrt{1- \sin^{2} \theta })^3+C \\
&=-\dfrac{1}{3} (1-x^2 )^{\frac{3}{2}}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定