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問題3.1.1b

　次の不定積分を求めよ。

（５）${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^3}}dx}$

（６）${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+2}}}$

（７）${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}dx}$

（８）${\displaystyle \int {\sin }^{-1}xdx}$

 

《ポイント》

数Ⅲの計算問題です。置換積分、部分積分などは最低限身に付けておく必要があります。

 

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《解答例》

（５）

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^3}}dx}$

$1+x^2=t$と置くと、$xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}dt$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^3}}dx}\\ & ={\displaystyle \int {{\displaystyle \frac{1}{t}}}^3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}dt}\\ & =-\frac{1}{4}{t}^{-2}+C\\ & =-\frac{1}{4}(1+x^2{)}^{-2}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$x=\tan \theta$ と置くと、$dx={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}d\theta$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{(1+x^2{)}^3}}dx}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\tan \theta }{(1+{\tan }^2\theta {)}^3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}d\theta }\\ & ={\displaystyle \int \sin \theta {\cos }^3\theta d\theta }\\ & -{\displaystyle \int (\cos \theta {)}^{\prime }{\cos }^3\theta d\theta }\\ & =-\frac{1}{4}{\cos }^4\theta +C\\ & =-\frac{1}{4}{\left({\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\theta +1}}\right)}^2+C\\ & =-\frac{1}{4}(1+x^2{)}^{-2}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（６）

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+2}}}$

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+2}}}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{(x+1{)}^2+1}}}\end{array}$

ここで$x+1=t$と置くと、$dx=dt$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{(x+1{)}^2+1}}}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{t^2+1}}}\\ & ={\tan }^{-1}t+C\\ & ={\tan }^{-1}(x+1)+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$x+1=\tan \theta$ と置くと、$dx={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}d\theta$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+2}}}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{(x+1{)}^2+1}}}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\theta +1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}d\theta }\\ & =\theta +C\\ & ={\tan }^{-1}(x+1)+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（７）

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}dx}$

$\cos x=t$と置くと、 $\sin xdx=-dt$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}dx}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-1}{t^3}}dt}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^{-2}+C\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^{2}x}}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}dx}\\ & =-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{3}x}}dx}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}^{\prime }dx}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^{2}x}}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（８）

${\displaystyle \int {\sin }^{-1}xdx}$

${\sin }^{-1}x=\theta$ と置くと、$x=\sin \theta$ なので、

${\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=d\theta$ は即ち $dx=\cos \theta d\theta$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int \theta \cos \theta d\theta }\\ & =\theta \sin \theta -{\displaystyle \int \sin \theta d\theta +C^{\prime }}\\ & =\theta \sin \theta +\cos \theta +C\\ & =x{\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

〈別解〉

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\sin }^{-1}xdx}\\ & =x{\sin }^{-1}x-{\displaystyle \int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+C^{\prime }}\end{array}$

$x=\sin \theta$ と置くと、$dx=\cos \theta d\theta$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx}\\ & ={\displaystyle \int \sin \theta \cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\cdot \cos \theta d\theta }\\ & =-\cos \theta +C^{\prime }{}^{\prime }\\ & =-\sqrt{1-x^2}+C^{\prime }{}^{\prime }\end{array}$

よって

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\sin }^{-1}xdx}\\ & =x{\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

（注）

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}}$ の計算は $1-x^2=t$ などと置いても可能です。

 

 

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復習例題未設定

 

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