問題3.1.2a
次の定積分の値を求めよ。
（１）$\displaystyle \int_0^2 x^2 e^{2x} dx$
（２）$\displaystyle \int_0^{\frac{a}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx (a>0)$
（３）$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx$
（４）$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1+x}{1+x^2} dx$
《ポイント》
定積分の計算では計算間違いが多発しやすいので、割り算や掛け算などでは約分できる形に取っておいたり、分配法則を駆使することを推奨します。その他にも、三角関数は部分積分を使える形に直す、分数関数は分子の次数を下げる･･･などの基本的な操作も、定積分の計算を正確に遂行するためには欠かせません。
しっかり自分の手を動かして訓練することが大切です。
《解答例》
（１）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 x^2 e^{2x} dx \\
&=\left[\dfrac{1}{2} x^2 e^{2x}-\dfrac{1}{2} xe^{2x}+\frac{1}{4} e^{2x} \right]_0^2 \\ &=\dfrac{5}{4} e^4-\frac{1}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{a}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx (a>0) \\
&=\left[ \sin ^{-1} \dfrac{x}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}} \\
&= \sin ^{-1} \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{\pi}{6} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（３）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x (1- \sin ^{2}x) dx \\
&=\left[ \sin x-\dfrac{1}{3} \sin ^{3}x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{2}}{12} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{4}( \cos 3x+3 \cos x) dx \\
&=\frac{1}{4} \left[\dfrac{1}{3} \sin 3x+3 \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{2}}{12} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（注）漸化式（もしくはウォリスの公式）を用いても可能です。
（４）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1+x}{1+x^2} dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{x}{1+x^2}\right) dx \\
&=\left[ \tan^{-1}x+\dfrac{1}{2} \log (x^2+1) \right]_0^{\sqrt3} \\
&=\dfrac{\pi}{3}+ \log 2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定