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問題3.3.1b

次の広義積分の値を求めよ。

（６）${\displaystyle {\int }_0^{1}x\log xdx}$

（７）${\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}dx}$

（８）${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}dx}$

（９）${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|x^2-1|}}}dx}$

（１０）${\displaystyle {\int }_0^3{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}}}dx}$

 

《ポイント》

広義積分の計算では定義域の取り方に注意しましょう。例えば$${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{1}{x}}dx}$$を計算したいとき、これを無理やり計算して$${[\log |x|]}_{-1}^1=0-0=0$$としてはいけません。${\displaystyle \frac{1}{x}}$は $x=0$ で定義されていないため、$x=0$ を積分区間内に含めることはできないことに注意しましょう。$[-1,0)$と$(0,1]$に分けることによって $-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$ を得ます。これは不定形なので答えは「発散」となります。細かい所までケアしなければ思わぬミスを犯してしまいます。

 

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《解答例》

（６）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{1}x\log xdx}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{[{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\log x-\frac{1}{4}{x}^2]}_{\alpha }^1}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}({\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }^2\log \alpha -\frac{1}{4}{\alpha }^2)-\frac{1}{4}}\\ & =-\frac{1}{4}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

ここで、${\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\alpha }^2\log \alpha =0}$を示しておく。ロピタルの定理より、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\alpha }^2\log \alpha }\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\displaystyle \frac{\log \alpha }{\left({\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}\right)}}}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\right)}{\left({\displaystyle \frac{-2}{{\alpha }^3}}\right)}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\alpha }^2}\\ & =0\end{array}$

 

（７）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}dx}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to 1+0}{lim}{[\log |\sqrt{x^2-1}+x|]}_{\alpha }^2}\\ & =\log |\sqrt{3}+2|-{\displaystyle \underset{\alpha \to 1+0}{lim}(\log |\sqrt{{\alpha }^2-1}+\alpha |)}\\ & =\log (\sqrt{3}+2)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

※${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}dx=\log |\sqrt{x^2-1}+x|+C}$ の計算は教科書p63(例5)に記載されています。

 

（８）

${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}dx}$について、$x={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$ と置くと、$dx={\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}d\theta$ 、$x：1\to \mathrm{\infty }$ のとき $\theta ：0\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\right)}^2-1}}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}d\theta }\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta }\\ & ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

※積分区間を分割すると計算が非常に煩雑になります。

 

（９）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|x^2-1|}}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|x^2-1|}}}dx+{\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{|x^2-1|}}}dx}}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+{\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}dx}}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to 1-0}{lim}{[{\sin }^{-1}x]}_0^{\alpha }+{\displaystyle \underset{\beta \to 1+0}{lim}{[\log |\sqrt{x^2-1}+x|]}_{\beta }^2}}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to 1-0}{lim}({\sin }^{-1}\alpha )-0+\log (\sqrt{3}+2)}\\ & -{\displaystyle \underset{\beta \to 1+0}{lim}(\log |\sqrt{{\beta }^2-1}+\beta |)}\\ & ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\log (\sqrt{3}+2)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（１０）

${\displaystyle {\int }_0^3{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}}}dx}$ について、$x^2-3x+2=t$ と置くと、$(2x-3)dx=dt$ であり、$x：0\to 1$ のとき $t：2\to 0$、
$x：1\to 2$ のとき $t：0\to 0$、$x：2\to 3$ のとき $t：0\to 2$ だから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^3{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}}dx}\\ & +{\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}}dx}\\ & +{\displaystyle {\int }_2^3{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_2^0{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt+{\displaystyle {\int }_0^0{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt+{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt}}}\\ & =-{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt+0+{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt}}\\ & =0\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

ただし、途中で積分値$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt}\\ & ={\displaystyle \underset{\alpha \to +0}{lim}{\left[2\sqrt{t}\right]}_{\alpha }^2}\\ & =2\sqrt{2}\end{array}$$が存在することを用いた。

※もし積分値 ${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}dt}$ が存在しなければ ${\displaystyle {\int }_0^3{\displaystyle \frac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}}}dx}$ が存在しないことになります。（教科書p71も参考にすること）

 

 

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復習例題未設定

 

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