問題3.3.1b
次の広義積分の値を求めよ。
（６）$\displaystyle \int_0^1 x \log x dx$
（７）$\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx$
（８）$\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$
（９）$\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{|x^2-1|}} dx$
（１０）$\displaystyle \int_0^3 \dfrac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}} dx$
《ポイント》
広義積分の計算では定義域の取り方に注意しましょう。例えば$$\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{1}{x}dx$$を計算したいとき、これを無理やり計算して$$\left[\log|x|\right]_{-1}^{1}=0-0=0$$としてはいけません。$\dfrac{1}{x}$は $x=0$ で定義されていないため、$x=0$ を積分区間内に含めることはできないことに注意しましょう。$[-1,0)$と$(0,1]$に分けることによって $-\infty+\infty$ を得ます。これは不定形なので答えは「発散」となります。細かい所までケアしなければ思わぬミスを犯してしまいます。
《解答例》
（６）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^1 x \log x dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \left[\dfrac{1}{2} x^2 \log x-\frac{1}{4} x^2 \right]_\alpha^1 \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0}\left(\dfrac{1}{2} {\alpha}^2 \log \alpha-\frac{1}{4} {\alpha}^2 \right)-\frac{1}{4} \\
&=-\frac{1}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
ここで、$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} {\alpha}^2 \log \alpha=0$を示しておく。ロピタルの定理より、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \lim_{\alpha \to +0} {\alpha}^2 \log \alpha \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \dfrac{\log \alpha}{\left(\dfrac{1}{{\alpha}^2}\right)} \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \dfrac{\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)}{\left(\dfrac{-2}{{\alpha}^3}\right)} \\
&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \lim_{\alpha \to +0} {\alpha}^2 \\ &=0 \end{align}$
（７）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} \left[ \log |\sqrt{x^2-1}+x| \right]_{\alpha}^2 \\
&= \log |\sqrt{3}+2|-\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0}(\log |\sqrt{{\alpha}^2-1}+\alpha| ) \\
&= \log (\sqrt{3}+2) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \log |\sqrt{x^2-1}+x|+C$ の計算は教科書p63(例5)に記載されています。
（８）
$\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$について、$x=\dfrac{1}{\cos \theta}$ と置くと、$dx= \dfrac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} d \theta$ 、$x：1 \to \infty$ のとき $\theta ：0 \to \dfrac{\pi}{2}$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos \theta} \sqrt{\left(\dfrac{1}{\cos \theta} \right)^2-1}} \cdot \dfrac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} d \theta \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \\
&=\dfrac{\pi}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※積分区間を分割すると計算が非常に煩雑になります。
（９）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{|x^2-1|}} dx \\
&=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{|x^2-1|}} dx+\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{|x^2-1|}} dx \\
&=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx+\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to 1-0} \left[ \sin ^{-1}x \right]_0^{\alpha} +\displaystyle \lim_{\beta \to 1+0} \left[ \log \left|\sqrt{x^2-1}+x\right| \right]_{\beta}^2 \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to 1-0}( \sin ^{-1}\alpha )-0+ \log (\sqrt{3}+2) \\
& \ \ \ \ \ -\displaystyle \lim_{\beta \to 1+0}\left( \log \left| \sqrt{\beta^2-1}+\beta \right| \right) \\
&=\dfrac{\pi}{2}+ \log (\sqrt{3}+2) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（１０）
$\displaystyle \int_0^3 \dfrac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}} dx$ について、$x^2-3x+2=t$ と置くと、$(2x-3)dx=dt$ であり、$x：0 \to 1$ のとき $t：2 \to 0$、
$x：1 \to 2$ のとき $t：0 \to 0$、$x：2 \to 3$ のとき $t：0 \to 2$ だから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^3 \dfrac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}} dx \\
&=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx \\
& \ \ \ \ \ +\displaystyle \int_1^2 \dfrac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx \\
& \ \ \ \ \ +\displaystyle \int_2^3 \dfrac{2x-3}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx \\
&=\displaystyle \int_2^0 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt +\displaystyle \int_0^0 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt +\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt \\
&=-\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt +0+\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt \\
&=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
ただし、途中で積分値$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt \\ &=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \left[2\sqrt{t}\right]_{\alpha}^2 \\ &=2\sqrt2 \end{align}$$が存在することを用いた。
※もし積分値 $\displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt$ が存在しなければ $\displaystyle \int_0^3 \dfrac{2x-3}{\sqrt{|x^2-3x+2|}} dx$ が存在しないことになります。（教科書p71も参考にすること）
復習例題未設定