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問題4.1.5

次の関数は、与えられた関係式を満たすことを示せ。

（１）$z=x^3{y}^3$、$x{z}_x+y{z}_y=6z$

（２）$w=(x-y)(y-z)(z-x)$、$w_x+w_y+w_z=0$

 

《ポイント》

前問に引き続き「偏導関数の計算に慣れよう！」的な問題です。サラッと解いてしまいましょう。

 

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《解答例》

（１）$z=x^3{y}^3$、$x{z}_x+y{z}_y=6z$

$$\begin{array}{rl}x{z}_x+y{z}_y& =x\cdot 3x^2{y}^3+y\cdot 3x^3{y}^2\\ & =6x^3{y}^3\\ & =6z\end{array}$$
よって示された。

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（２）$w=(x-y)(y-z)(z-x)$、$w_x+w_y+w_z=0$

$$w_x=(y-z)(z-x)-(x-y)(y-z)$$
$$w_y=-(y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)$$
$$w_z=-(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)$$
より、$$w_x+w_y+w_z=0$$となる。よって示された。

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復習例題は設定していません。

 

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