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問題5.3.5

次の線積分は始点$\mathrm{A}$と終点$\mathrm{B}$で決まり、$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を結ぶ曲線によらないことを示せ。

（１）${\displaystyle {\int }_A^B(e^x+2xy)dx+(e^{2y}+x^2)dy}$

（２）${\displaystyle {\int }_A^{B}yf(xy)dx+xf(xy)dy}$

 

《ポイント》

問題5.3.4で証明した事実を用います。即ち、関数$P(x,y)$、$Q(x,y)$が全平面で$C^1$級で$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)$$となることを示します。

 

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《解答例》

（１）${\displaystyle {\int }_A^B(e^x+2xy)dx+(e^{2y}+x^2)dy}$

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}(e^x+2xy)=2x\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}(e^{2y}+x^2)=2x\end{array}$$より、$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)$$を満たすので、この線積分は点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を結ぶ曲線によらない。

 

（２）${\displaystyle {\int }_A^{B}yf(xy)dx+xf(xy)dy}$

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}yf(xy)=f(xy)+xy{f}^{\prime }(xy)\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}xf(xy)=f(xy)+xy{f}^{\prime }(xy)\end{array}$$より、$$P_y(x,y)=Q_x(x,y)$$を満たすので、この線積分は点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を結ぶ曲線によらない。

 

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復習例題は設定していません。

 

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