問題1.1.5b

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問題1.1.5b

(3)無限小数αが循環小数ならばαは有理数であることを示せ。

(4)任意の実数αは有限または無限小数で表されることを示せ。

(5)任意の実数αはある単調増加な有理数列の極限となることを示せ。

 

《ポイント》

抽象的な議論であっても、できるだけ具体的に考えましょう。まず(3)では無限小数とはどのような数であったかを思い出しましょう。αを具体的に表して示します。

 


 

《解答例》

(3)

十進法で表記してα=0.abcxyzabcのとき、循環部分(下線部分)が計n桁だとすると、

10nαα=abcxyz(整数)

となり、α=abcxyz10n1と表せるからαは有理数である。

αの循環部分が小数第k位から始まっているとき、α10kを乗じることで同様に10kαが有理数であることが示される。10kαが有理数のとき、αも有理数である。

さらにαに整数部分があるとき、αの小数部分について上記同様の議論が可能であり、αの小数部分が有理数だから、α自体も有理数である。

●  ●  ●

(4)、(5)

an=0.m1m2mnと置き、αの小数部分をα と表す。ただしmii:自然数)は09のいずれかの自然数である。

任意のαに対して
an=0.m1m2mnα<an+110n=0.m1m2mn+110n
を満たす数列{an}が定義できて、あるnで等号が成立するときαは有限小数として表せる。すべてのnで等号不成立のときanの小数第n位の数mnは無数に存在し、不等式α110n<an<αと実数の連続性によりlimnan=αであるから、αは無限小数として表せる。

以上より任意の実数αは有限または無限小数として表せる。

 

また、上記の数列{an}は単調な有理数列であるから、任意の実数αは単調な有理数列の極限となることが示された。

 


 

《コメント》

(3)は実数の種類で場合分けしてすべての場合を考える必要があります。

(4)、(5)はまとめて示すことができるように十進法による表示をそのまま数列として設定しました。教科書の「無限小数」の項に書いてあることをマジメにやると解答例のような操作になります。

本問のような実数の表記法をテーマとした問題は大学入試にも時々出題されています。(cf.2016年東大理科前期etc…)

 


 

この問題に復習例題は設定していません。

 


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