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問題1.1.5b
(3)無限小数が循環小数ならばは有理数であることを示せ。
(4)任意の実数は有限または無限小数で表されることを示せ。
(5)任意の実数はある単調増加な有理数列の極限となることを示せ。
《ポイント》
抽象的な議論であっても、できるだけ具体的に考えましょう。まず(3)では無限小数とはどのような数であったかを思い出しましょう。を具体的に表して示します。
《解答例》
(3)
十進法で表記してのとき、循環部分(下線部分)が計桁だとすると、
(整数)
となり、と表せるからは有理数である。
の循環部分が小数第位から始まっているとき、にを乗じることで同様にが有理数であることが示される。が有理数のとき、も有理数である。
さらにに整数部分があるとき、の小数部分について上記同様の議論が可能であり、の小数部分が有理数だから、自体も有理数である。
● ● ●
(4)、(5)
と置き、の小数部分を と表す。ただし(:自然数)は~のいずれかの自然数である。
任意のに対して
を満たす数列が定義できて、あるで等号が成立するときは有限小数として表せる。すべてので等号不成立のときの小数第位の数は無数に存在し、不等式と実数の連続性によりであるから、は無限小数として表せる。
以上より任意の実数は有限または無限小数として表せる。
また、上記の数列は単調な有理数列であるから、任意の実数は単調な有理数列の極限となることが示された。
《コメント》
(3)は実数の種類で場合分けしてすべての場合を考える必要があります。
(4)、(5)はまとめて示すことができるように十進法による表示をそのまま数列として設定しました。教科書の「無限小数」の項に書いてあることをマジメにやると解答例のような操作になります。
本問のような実数の表記法をテーマとした問題は大学入試にも時々出題されています。(cf.2016年東大理科前期etc…)
この問題に復習例題は設定していません。
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