問題1.1.4
次の集合の最大、最小、上限、下限を求めよ。
（１）$A=[-2,4)$
（２）$A=\left\{ 1-\dfrac{1}{n} \, \middle | \, n \in \mathbb{N} \right\}$
（３）$A=\left\{ \dfrac{1}{n}-n \, \middle | \, n \in \mathbb{N} \right\}$
《ポイント》
最大、最小、上限、下限の定義については教科書を参照してください。図を描いたり不等関係を導いたりすると分かりやすくなります。
特に最大、最小は等号関係が成立するときに存在します。数列で与えられた場合は、まずどのような挙動を示すか、例えば単調増加なのか、単調減少なのか、という点について調べます。
《解答例》
（１）
$A$に含まれるある要素$x$について$-2 \leqq x < 4$であるから、
$\therefore \max{A}=\emptyset$（存在しない）、$\min{A}=-2、\sup{A}=4、\inf{A}=-2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
（２）
$a_n=1-\dfrac{1}{n}$は単調増加数列であり、初項は$0$、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=1$であるから、$A$に含まれるある要素$x$について$0 \leqq x < 1$である。
$\therefore \max{A}=\emptyset$、$\min{A}=0、\sup{A}=1、\inf{A}=0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
（３）
$a_n=\dfrac{1}{n}-n$は単調減少数列であり、初項は$0$、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n= -\infty$であるから、$A$に含まれるある要素$x$について$-\infty < x \leqq 0$である。
$\therefore \max{A}=0$、$\min{A}=\emptyset、\sup{A}=0、\inf{A}=-\infty \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
《コメント》
最大、最小、上限、下限は単純な考え方ですが、しっかり理解しておきましょう。
復習例題1.1.4
次の集合の最大、最小、上限、下限を求めよ。
（１）$A=(0,1)$
（２）$A=\left\{ 1-\dfrac{1}{n^2} \, \middle | \, n \in \mathbb{N} \right\}$
（３）$A=\left\{ \dfrac{n^2+1}{n} \, \middle | \, n \in \mathbb{N} \right\}$