問題2.2.1a
次の不等式を示せ。
（１）$\dfrac{x}{1+x}\leqq\log (1+x) \ \ (x\geqq0)$
（２）$1+x \leqq e^x \leqq \dfrac{1}{1-x} \ \ (x<1)$
《ポイント》
不等式の証明には差を取る、比を取る、絶対不等式を利用するなどの方法がありますが、ここでは微分により関数の大小関係を調べます。単純に単調性を利用できない場合（増減が変動する場合）は、必要に応じて増減表を利用して議論しましょう。
《解答例》
（１）
$$\dfrac{x}{1+x}\leqq\log (1+x) \ \ (x\geqq0)$$を示す。
$f(x)=\log (1+x) -\dfrac{x}{1+x} \ \ (x\geqq0)$とすると、
$$f'(x)=\dfrac{x}{1+x} -\dfrac{x}{(1+x)^2} =\dfrac{x^2+x}{(1+x)^2}\geqq 0$$
よって$f(x)$は$x\geqq 0$で単調増加である。これと$f(0)=0$より$x \geqq 0$で$f(x) \geqq 0$である。故に与不等式は示された。
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（２）
$1+x \leqq e^x \leqq \dfrac{1}{1-x} \ \ (x<1)$を示す。
$f(x)=e^x-(1+x) \ \ (x\leqq 1)$とすると、$f'(x)=e^x-1$となり$x=0$で$f'(x)$の符号が負から正に変わるので$f(x)$は$x=0$で極小かつ最小となるが、$f(0)=0$より、$x<1$で$f(x) \geqq 0$である。
故に$1+x \leqq e^x$が示された。
また、$g(x)=\dfrac{1}{1-x} e^x \ \ (x\leqq 1)$とすると、$g'(x)=xe^x$となるから増減表は以下のようになる。
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $(1)$ |
| $g'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $g(x)$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $(1)$ |
よって$x<1$で$g(x) \geqq 0$である。故に$\dfrac{1}{1-x} e^x\geqq 0$が示された。
$$∴(1-x) e^x\leqq 1 \ \ \ ∴e^x\leqq \dfrac{1}{1-x} (∵1-x>0)$$
以上より$1+x \leqq e^x \leqq \dfrac{1}{1-x} \ \ (x<1)$が示された。
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復習例題未設定