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問題2.3.1b
次の関数の次()の導関数を求めよ。
(4)
(5)
(6)
《ポイント》
ライプニッツの定理とは次のようなものでした。
《ライプニッツの定理》
、が開区間で回微分可能ならば、その積も開区間で回微分可能であり、
が成立する。
ライプニッツの定理は高次の導関数を機械的に求める際に重宝します。積の形になっていれば利用した方が良いです。
《解答例》
(4)
は微分していくと、、、 となるからライプニッツの定理を
適用する。
、 とおくと、、、 となり、3回以上微分すると0になる。
、、であるから、 の次導関数はライプニッツの定理より
となる。
(5)
は微分していくと、、、となるからライプニッツの定理を適用する。
、とおくと、、 となり、3回以上微分するとになる。
、、であるから、 の次導関数はライプニッツの定理より
となる。
(6)
は微分していくと、、、となるからライプニッツの定理を
適用する。
、とおくと、、、 となり、3回以上微分するとになる。
、、 であるから、の次導関数はライプニッツの定理より
となる。
(※注)三角関数は微分すると位相が だけ進みます。
復習例題2.3.1
ライプニッツの定理を証明せよ。
(帰納法で示せばOKです)
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