問題2.4.4
次の極限を漸近展開を用いて求めよ。
（１）$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x) \sin x-x \cos x}{x^2}$
（２）$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x \sin x} $
（３）$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x-xe^x+x^2}{x(\cos x-1)}$
（４）$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left\{ \dfrac{1}{\sin^{2}x} -\dfrac{1}{x^2} \right\}$
《ポイント》
ランダウの記号の最も基本的な性質が
$$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{o(x^n )}{x^n}=0$$
というものです。これを利用して2.4.4では極限値を求め、2.4.5では極値を持つか否かを調べます。
ランダウの記号については当サイトの記事「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方（漸近展開の合成）」を参照してください。
《解答例》
（１）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{(1+x) \sin x-x \cos x}{x^2} \\
&=\dfrac{(1+x)(x-o(x^2 ))-x\left(1-\dfrac{1}{2} x^2+o(x^2 ) \right)}{x^2} \\
&=\dfrac{x^2+\dfrac{1}{2} x^3-(1+2x)o(x^2 )}{x^2} \\
&=1+\dfrac{1}{2} x-(1+2x) \dfrac{o(x^2 )}{x^2} \\
& \stackrel{(x \to 0)}{\to} 1 \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x \sin x} \\
&=\dfrac{{1+(x^2 )+o(x^2 )}-{1-\dfrac{1}{2} x^2+o(x^2 )}}{x\{x+o(x)\}} \\
&=\dfrac{\dfrac{3}{2} x^2}{x^2+o(x^2 )} \ \ (∵x \cdot o(x)=o(x^2 )) \\
&=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{o(x^2 )}{x^2}} \\
& \stackrel{(x \to 0)}{\to} \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+0}\\
&=\dfrac{3}{2} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（３）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{\sin x-xe^x+x^2}{x(\cos x-1)} \\
&=\dfrac{\left( x-\dfrac{1}{3!} x^3+o(x^3 ) \right)-x\left( 1+x+\dfrac{1}{2} x^2+o(x^2 ) \right)+x^2}{x\left\{\left(1-\dfrac{1}{2} x^2+o(x^2 ) \right)-1 \right\} } \\
&=\dfrac{-\dfrac{3}{2} x^3+o(x^3 )-x \cdot o(x^2 )}{-\dfrac{1}{2} x^3+x \cdot o(x^2 ) } \\
&=\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{o(x^3 )}{x^3}} \ \ (∵x \cdot o(x^2 )=o(x^3 )) \\
&\stackrel{(x \to 0)}{\to} \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{1}{2}+0} \\
&=\dfrac{4}{3} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（４）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{1}{\sin^{2}x} -\dfrac{1}{x^2} \\
&=\dfrac{x^2-\sin^{2x}}{x^2 \sin^{2x}} \\
&=\dfrac{x^2-\left(x-\dfrac{1}{3!} x^3+o(x^3 ) \right)^2}{x^2 \left(x-\dfrac{1}{3!} x^3+o(x^3 ) \right)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3} x^4-\dfrac{1}{36} x^6+\left(2x-\dfrac{1}{3} x^3+o(x^3 ) \right) \cdot o(x^3 )}{x^2 \left\{x^2-\dfrac{1}{3} x^4+\dfrac{1}{36} x^6+\left(2x-\dfrac{1}{3} x^3+o(x^3 ) \right) \cdot o(x^3 ) \right\} } \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{36} x^2+\left(2-\dfrac{1}{3} x^2+\dfrac{o(x^3 )}{x} \right) \cdot \dfrac{o(x^3 )}{x^3}}{1-\dfrac{1}{3} x^2+\dfrac{1}{36} x^4+\left(2-\dfrac{1}{3} x^2+\dfrac{o(x^3 )}{x} \right) \dfrac{o(x^3 )}{x^3}} \\
&\stackrel{(x \to 0)}{\to} \dfrac{\dfrac{1}{3}-0+2 \cdot 0}{1-0+0+2 \cdot 0} \\ &=\dfrac{1}{3} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定