微積2.4.6

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問題2.4.6

次の値の近似値を、与えられた関数の有限マクローリン展開の、$x^5$の項まで計算して求めよ。また誤差も簡単に評価せよ。

（１）$e^{\frac{1}{2}}$ $(e^x、x={\displaystyle \frac{1}{2}})$

（２）$\log 2$ $(\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}、x={\displaystyle \frac{1}{3}})$

（３）$\sin 0.1$ $(\sin x、x=0.1)$

 

《ポイント》

マクローリン展開は関数を多項式で近似する操作ですから、ある点における値も近似できます。本問は近似値を求める際にマクローリン展開が有用であることを確認する問題です。他の色々な値についても、計算機などで誤差を評価してみると良い勉強になるでしょう。

マクローリン展開の定義・概念については2.4.2や「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページを参照してください。

 

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《解答例》

（１）

$f(x)=e^x$ として５次の項まで有限マクローリン展開すると、

$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{f^{(6)}(\theta x)}{6!}}{x}^6\\ & =\sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{1}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{e^{\theta }x}{720}}{x}^6\end{array}$

これに $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ を代入して、
$\begin{array}{rl}{e}^{\frac{1}{2}}& \fallingdotseq \sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{1}{2^{k}k!}}+{\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}}\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{48}}+{\displaystyle \frac{1}{384}}+{\displaystyle \frac{1}{3840}}+{\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{6331}{3840}}+{\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}}\\ & =1.64869791\dot{6}+{\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}} \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

$0<\theta <1$、$e^{\frac{\theta }{2}}<2(\because e<3)$より、誤差 ${\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}}$は

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{720\cdot 2^6}}& <{\displaystyle \frac{2}{720\cdot 2^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{720\cdot 2^5}}\\ & =0.000043402\dot{7}\\ & <0.00005\\ & <0.0001\end{array}$$

 

 

（２）

$f(x)=\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=\log (1+x)-\log (1-x)$として５次の項まで有限マクローリン展開すると、

$f^{(n)}(x)=(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1)!(1+x{)}^{-n}+(n-1)!(1-x{)}^{-n}$

$\begin{array}{rl}& f(x)\\ & =\sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{f^{(6)}(\theta x)}{6!}}{x}^6\\ & =\sum _{k=1}^5{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}+1}{k}}{x}^k\\ & +{\displaystyle \frac{(-1{)}^5\cdot (6-1)!(1+\theta x{)}^{-6}+(6-1)!(1-\theta x{)}^{-6}}{6!}}{x}^6\\ & =\sum _{k=1}^5{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}+1}{k}}{x}^k+{\displaystyle \frac{-(1+\theta x{)}^{-6}+(1-\theta x{)}^{-6}}{6}}{x}^6\end{array}$

これに $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ を代入して、

$\begin{array}{rl}& =\sum _{k=1}^5{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}+1}{k\cdot 3^k}}+{\displaystyle \frac{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta {)}^{-6}+(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta {)}^{-6}}{6\cdot 3^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{1\cdot 3^1}}+{\displaystyle \frac{2}{3\cdot 3^3}}+{\displaystyle \frac{2}{5\cdot 3^5}}\\ & +{\displaystyle \frac{{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}+{(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}}{6\cdot 3^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{842}{1215}}+{\displaystyle \frac{{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}+{(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}}{6\cdot 3^6}}\\ & =0.69300411\dots \\ & +{\displaystyle \frac{{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}+{(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}}{6\cdot 3^6}} \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

$0<\theta <1$より誤差 ${\displaystyle \frac{{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}+{(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}}{6\cdot 3^6}}$ は

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}+{(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta )}^{-6}}{6\cdot 3^6}}& <{\displaystyle \frac{2}{6\cdot 3^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3^7}}\\ & =0.00045724\dots \\ & <0.0005\end{array}$$

※因みに、$f(x)=\log (x+1)$として５次の項まで有限マクローリン展開すると、

$\begin{array}{rl}& f(x)\\ & =\sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{f^{(6)}(\theta x)}{6!}}{x}^6\\ & =\sum _{k=1}^5{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{k}}{x}^k+{\displaystyle \frac{1}{6(\theta x+1{)}^6}}{x}^6\end{array}$

これに$x=1$を代入して、

$\begin{array}{rl}& \log 2\\ & \fallingdotseq \sum _{k=1}^5{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{6(\theta +1{)}^6}}\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{6(\theta +1{)}^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{47}{60}}+{\displaystyle \frac{1}{6(\theta +1{)}^6}} \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

$0<\theta <1$より誤差 ${\displaystyle \frac{1}{6(\theta +1{)}^6}}$ は、 $${\displaystyle \frac{1}{6(\theta +1{)}^6}}<{\displaystyle \frac{1}{6}}=0.1\dot{6}$$となり、かなり粗い近似しかできない。

 

 

（３）

$f(x)=\sin x$ として５次の項まで有限マクローリン展開すると、

$\begin{array}{rl}& f(x)\\ & =\sum _{k=0}^5{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+{\displaystyle \frac{f^{(6)}(\theta x)}{6!}}{x}^6\\ & =x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5!}}{x}^5+{\displaystyle \frac{-\sin \theta x}{6!}}{x}^6\end{array}$

これに ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ を代入すると、

$\begin{array}{rl}& \sin 0.1\\ & \fallingdotseq {\displaystyle \frac{1}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^3+{\displaystyle \frac{1}{5!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^5+{\displaystyle \frac{-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{10}}}{6!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^6\\ & ={\displaystyle \frac{1198001}{12000000}}+{\displaystyle \frac{-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{10}}}{6!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^6\\ & =0.09983341\dot{6}+{\displaystyle \frac{-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{10}}}{6!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^6 \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

$0<\theta <1$より誤差 ${\displaystyle \frac{-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{10}}}{6!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^6$ は、

$$\begin{array}{rl}\left|{\displaystyle \frac{-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{10}}}{6!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)}^6\right|& <{\displaystyle \frac{1}{6!\cdot {10}^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{720000000}}\\ & <{\displaystyle \frac{1}{100000000}}={10}^{-8}\end{array}$$

 

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各種三角関数のマクローリン展開についてはこちらのページにまとめています。

 

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