問題3.1.2b
次の定積分の値を求めよ。
（５）$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^4+1} dx$
（６）$\displaystyle \int_0^2 \dfrac{x}{(1+x^2)^2} dx$
（７）$\displaystyle \int_0^2 x \log (x^2+1) dx$
（８）$\displaystyle \int_1^2 xe^{x^2} dx$
《ポイント》
いずれも置換積分をしなければかなり苦戦を強いられる問題です。どこをどう置き換えれば上手く計算できるかは、ある程度の量の問題をこなさなければ身に付きません。一発で積分出来そうにない場合は部分積分との併用も考えなければなりません。微分した後の関数の形も考えながら置き換えを実行します。
《解答例》
（５）
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^4+1} dx$
$x^2=t$と置くと、$xdx=\dfrac{1}{2} dt$、
$x:0 \to 1$、$t:0 \to 1$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x^4+1} dx \\
&=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{t^2+1} \cdot \dfrac{1}{2} dt \\
&=\dfrac{1}{2} \left[ \tan ^{-1}t \right]_0^1 \\
&=\dfrac{\pi}{8} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（６）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 \dfrac{x}{(1+x^2)^2} dx \\
&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^2 \dfrac{(1+x^2 )’}{(1+x^2 )^2} dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^2 \left(\dfrac{1}{1+x^2}\right)’ dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{1+x^2}\right]_0^2 \\
&=\dfrac{2}{5} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$1+x^2=t$と置くと、$xdx=\dfrac{1}{2} dt$、
$x:0 \to 2$、$t:1 \to 5$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 \dfrac{x}{(1+x^2)^2} dx \\
&=\displaystyle \int_1^5 \dfrac{1}{t}^2 \cdot \dfrac{1}{2} dt \\
&=-\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{t}\right]_1^5 \\
&=\dfrac{2}{5} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（７）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 x \log (x^2+1) dx \\
&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^2 (x^2+1)’ \log (x^2+1) dx \\
&=\dfrac{1}{2} \left[(x^2+1) \log (x^2+1) \right]_0^2-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^2 2x dx \\
&=\dfrac{5}{2} \log 5-2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（８）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^2 xe^{x^2} dx \\
&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_1^2 (x^2)’e^{x^2} dx \\
&=\dfrac{1}{2} \left[e^{x^2} \right]_1^2 \\
&=\dfrac{e}{2}(e^3-1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$x^2=t$と置くと、$xdx=\dfrac{1}{2} dt$、
$x:1 \to 2$、$t:1 \to 4$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^2 xe^{x^2} dx \\
&=\displaystyle \int_1^4 e^t \cdot \dfrac{1}{2} dt \\
&=\dfrac{1}{2} \left[e^t\right]_1^4 \\
&=\dfrac{1}{2}e^4-\dfrac{1}{2}e \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
定積分 $\displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\,dx$ の値を求めよ。