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問題2.3.2

次の曲線の極値、凹凸、変曲点を調べ、その概形を描け。

（１）$y=2x^2\sqrt{x}-5x^2$

（２）$y={\displaystyle \frac{e^x}{1-x}}$

 

《ポイント》

数Ⅲの範囲です。関数の中にルートや対数が含まれている場合は定義域に注意しましょう。二次微分まで求めることになるので、おおよその概形は掴むことができますが、$x=0$ や $x=\mathrm{\infty }$ などの極限値や、極限への近付き方について調べる必要がある（自明でない）場合は必要に応じてロピタルの定理などを利用しましょう。

もしも極限値がおかしいとき（例えば、$x\to \mathrm{\infty }$ のときに $y\to 0$ に近付くのに傾きが$-\mathrm{\infty }$に近付いて行ってしまう、など）の計算ミスを検算するときにも利用できるので、$x$や関数に極端な値を代入してみることでケアレスミス防止にも有効です。この辺りは高校数学と同じですね。

なお、以下の解答例ではグラフ上の点の座標などを記入していませんが、実際に答案として提出するときは値も一緒に明記した方が良いでしょう。

 

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《解答例》

（１）

$f(x)=2x^2\sqrt{x}-5x^2(x\geqq 0)$ とすると${f^{\prime }}^{\prime }(x)=5x\sqrt{x}-10x$、$f”(x)={\displaystyle \frac{15}{2}}\sqrt{x}-10$となるから増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	${\displaystyle \frac{16}{9}}$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
${f^{\prime }}^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$y$	$(0)$		$-{\displaystyle \frac{1792}{243}}$	↳	$-16$

表より、グラフは以下のようになる。（原点を除く）

 

（２）

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}(x>0)$ とすると$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$ 、${f^{\prime }}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2\log x-3}{x^3}}$ となるから増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
${f^{\prime }}^{\prime }(x)$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$y$	$(0)$	↱	${\displaystyle \frac{1}{e}}$		${\displaystyle \frac{3\sqrt{e}}{2e^2}}$	↳

表より、グラフは以下のようになる。

 

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復習例題未設定

 

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