培風館『入門微分積分』第1章・問題1.2.7の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.2.7
$f(a)=A$のとき、$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=A$、$\displaystyle \lim_{x \to A} g(y)=B$でも$\displaystyle \lim_{x \to a} g(f(x)) \ne B$となる例を挙げよ。
解法の要点
解答例
と置くと、$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0$、$\displaystyle \lim_{y \to 0} g(y)=0 \ (\therefore y \ne 0)$であるが、$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(f(x))=g(0)=1$である。
《解答例②》
$f(x)=x-\dfrac{1}{x^2+1}$、$\displaystyle g(y)=\begin{cases} y+1 & (y>-1) \\ \ \ \ 1 & (y = -1) \\ \ \ \ 0 & (y<-1) \end{cases}$
と置くと、$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=-1$、$\displaystyle \lim_{y \to 0} g(y)=0 \ (\therefore y \ne 0)$であるが、$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(f(x))=g(0)=1$である。
《解答例③》
$f(x)=x-\dfrac{1}{x^2+1}$、$\displaystyle g(y)=\begin{cases} \ \ \ \ 1 & (y=0) \\ \ \ \ |y| & (y \ne 0) \end{cases}$
と置くと、$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0$、$\displaystyle \lim_{y \to 0} g(y)=0 \ (\therefore y \ne 0)$であるが、$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(f(x))=g(0)=1$である。
《※失敗例》
$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \ \ \ \ 1 & (x=0) \\ \ \ \ |y| & (x \ne 0) \end{cases}$、$g(y)=\sin y$
と置いても、$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0 (\therefore x \ne 0)$、$\displaystyle \lim_{y \to 0} g(y)=0$であり、$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(f(x))=g(0)=0$となり一致してしまう。
《コメント》
ここで注意すべきなのは$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(f(x))=g \left( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \right) $であるということです。したがって$g(y)$を不連続関数としなければなりません。