培風館『入門微分積分』第1章・問題1.3.3の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.3.3
（１）$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}}$
（２）$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{x}$
（３）$\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$
解法の要点
本問は自然対数の底$e$の定義式に帰着させます。
解答例
$\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \left\{ (1+ax)^{\frac{1}{ax}} \right\}^a=e^a \ \ \cdots \cdots (\text{答})$
（２）
$f(x)=e^x$とすると、
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^{-x}}{x} &=\displaystyle \lim_{x \to 0} \left\{ \dfrac{e^{0+x}-e^{0}}{x}+\dfrac{e^{0+(-x)}-e^{0}}{(-x)} \right\} \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{0+x}-e^{0}}{x}+ \displaystyle \lim_{(-x) \to 0} \dfrac{e^{0+(-x)}-e^{0}}{(-x)} \\ &= f'(0)+f'(0) \\ &= 2 \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align}$
（３）
$1-x=t$と置くと、
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}} \\ &= \displaystyle \lim_{t \to 0} (1-t)^{\frac{1}{t}} \\ &=\displaystyle \lim_{t \to 0} \left\{ (1+(-t))^{\frac{1}{-t}} \right\}^{-1} \\ &= e^{-1} \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align}$
《コメント》
やや技巧的に見えるかもしれませんが、目標となる式は公式の使える形ですからどのような変形をすれば良いのかは見えてくるはずです。$e$に関する極限計算のバリエーションもそれほど多くはないので、これらの問題が解ければ十分です。
復習例題未設定