微積復習例題2.1.1b

復習例題2.1.1b

次の関数の導関数を求めよ。

（１）${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{\frac{3}{2}}(x)}}$

（２）$2\arcsin \sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}$

（３）$\sqrt{{\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}}$

 

《ポイント》

$\arcsin$は教科書中の${\sin }^{-1}$と同じ意味です。逆三角関数の微分公式は覚えておくと良いでしょう。もちろん、定義から導出できるようにしておくに越したことはありません。

 

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《（１）解答例　》

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}\left[{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{\frac{3}{2}}x}}\right]\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}{\sin }^{-\frac{3}{2}-1}x\cdot {\displaystyle \frac{d}{dx}}[\sin x]\\ & =-{\displaystyle \frac{3\cos x}{2{\sin }^{\frac{5}{2}}x}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

《（２）解答例　》

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}(2\arcsin \sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}})\\ & =2{(\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}})}^{´}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{(\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}})}^2}}}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1-x}{2}}}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

《（３）解答例　》

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\left({\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\\ & ={({\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}})}^{´}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdots \mathrm{①}\end{array}$

ここで、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{(\arcsin x{)}^{\prime }\cdot (x^2+1)-\arcsin x\cdot (x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\cdot (x^2+1)-\arcsin x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}\end{array}$

であるから

$\begin{array}{rl}\mathrm{①}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\cdot (x^2+1)-\arcsin x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\arcsin x}{x^2+1}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1-x^4}\sqrt{\arcsin x}}}-{\displaystyle \frac{x\sqrt{\arcsin x}}{{(x^2+1)}^{\frac{3}{2}}}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

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