培風館『入門微分積分』第4章・問題4.1.5の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.1.5
次の関数は、与えられた関係式を満たすことを示せ。
（１）$z=x^3y^3$、$xz_x+yz_y=6z$
（２）$w=(x-y)(y-z)(z-x)$、$w_x+w_y+w_z=0$
解法の要点
前問に引き続き「偏導関数の計算に慣れよう！」的な問題です。サラッと解いてしまいましょう。
解答例
（１）$z=x^3y^3$、$xz_x+yz_y=6z$
$$\begin{align} xz_x+yz_y&=x \cdot 3x^2y^3+y \cdot 3x^3y^2 \\ &=6x^3y^3 \\ &=6z \end{align}$$
よって示された。
（２）$w=(x-y)(y-z)(z-x)$、$w_x+w_y+w_z=0$
$$w_x=\color{orange}{(y-z)(z-x)}\color{purple}{-(x-y)(y-z)}$$
$$w_y=\color{orange}{-(y-z)(z-x)}\color{green}{+(x-y)(z-x)}$$
$$w_z=\color{green}{-(x-y)(z-x)}\color{purple}{+(x-y)(y-z)}$$
より、$$w_x+w_y+w_z=0$$となる。よって示された。