培風館『入門微分積分』第7章・問題7.1.1の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題7.1.1
次の微分方程式の階数を求めよ。また、正規形かどうか述べよ。
（１）$yy’=xy”$
（２）$y”=(y’+x)^3$
（３）$(y’)^2+y’=y+x$
（４）$y”’+2y”-y=0$
解法の要点
関数 $y=f(a)$ とその導関数 $y^{\prime},\, y^{\prime \prime},\, \cdots,\, y^{(n)}$ の間の関係式 $F(x,\,y,\,y^{\prime},\, y^{\prime \prime},\, \cdots\,,\, y^{(n)})=0$ を微分方程式といい、この関係式をみたす $y=f(x)$ を求めることを「微分方程式を解く」と言います。
微分方程式に含まれる導関数の最高次数を微分方程式の「階数」と言い、$n$階微分方程式のうち$$y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n-1)}\right)$$という形で表されるものを「正規形の微分方程式」と呼びます。
解答例
（１）2階、非正規形
（２）2階、正規形
（３）1階、非正規形
（４）3階、正規形