微積7.1.2b

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問題7.1.2b

次の微分方程式を解け（変数分離形およびその応用）。

（５）$y^{\prime }=x+2y-1$

（６）$y^{\prime }=e^{x+y}-1$

《ポイント》

次の形の微分方程式を変数分離形の微分方程式と言います。$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)g(y)$$変数分離形の微分方程式の解は$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+c$$で与えられます。ここで $c$ は任意にとれる定数で、初期条件を与えれば決まります。このように任意定数を含む解を一般解と言い、初期条件を与えて決まる解を特殊解と言います。

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《解答例》

（５）$y^{\prime }=x+2y-1$

$z=x+2y-1$ とおくと ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}=1+2\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ となる。いま、${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=z$ であるから$${\displaystyle \frac{dz}{dx}}=2z+1$$の関係が成り立つ。これを$z$について解くと、$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{2z+1}dz& =\int dx+c_1\\ \therefore \frac{1}{2}\log |2z+1|& =x+c_2\\ \therefore 2z+1& =c{e}^{2x}(c:=e^{2c_2})\\ \therefore 2x+4y-1& =c{e}^{2x}(\because z=x+2y-1)\\ \therefore y& =c{e}^{2x}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\cdots (\text{答})\end{array}$$

 

（６）$y^{\prime }=e^{x+y}-1$

$z=x+y$ とおくと ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}=1+{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ となる。いま、${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=e^z-1$ であるから$${\displaystyle \frac{dz}{dx}}=e^z$$の関係が成り立つ。これを$z$について解くと、$$\begin{array}{rl}\int e^{-z}dz& =\int dx+c_1\\ \therefore -e^{-z}& =x+c_2\\ \therefore -z& =\log (-x-c_2)\\ \therefore y& =-x-\log (-x-c_2)(\because z=x+y)\\ \therefore y& =-x-\log (C-x)\cdots (\text{答})\end{array}$$

※注：答で$-c_2$を$C$と置き直しています。

 

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復習例題は設定していません。

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