微積7.1.2b

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問題7.1.2b

次の微分方程式を解け(変数分離形およびその応用)。

(5)y=x+2y1

(6)y=ex+y1

《ポイント》

次の形の微分方程式を変数分離形の微分方程式と言います。dydx=f(x)g(y)変数分離形の微分方程式の解は1g(y)dy=f(x)dx+cで与えられます。ここで c は任意にとれる定数で、初期条件を与えれば決まります。このように任意定数を含む解を一般解と言い、初期条件を与えて決まる解を特殊解と言います。


《解答例》

(5)y=x+2y1

z=x+2y1 とおくと dzdx=1+2dydx となる。いま、dydx=z であるからdzdx=2z+1の関係が成り立つ。これをzについて解くと、12z+1dz=dx+c112log|2z+1|=x+c22z+1=ce2x(c:=e2c2)2x+4y1=ce2x(z=x+2y1)y=ce2xx2+14()

 

(6)y=ex+y1

z=x+y とおくと dzdx=1+dydx となる。いま、dydx=ez1 であるからdzdx=ezの関係が成り立つ。これをzについて解くと、ezdz=dx+c1ez=x+c2z=log(xc2)y=xlog(xc2)(z=x+y)y=xlog(Cx)()

※注:答でc2Cと置き直しています。

 


復習例題は設定していません。


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