線形代数4.2.4

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 問題4.2.4

次の命題の正否を調べ,証明または反例をあげよ。

（１）${\mathit{u}}_1$ と ${\mathit{u}}_2$、${\mathit{u}}_2$ と ${\mathit{u}}_3$、${\mathit{u}}_1$ と ${\mathit{u}}_3$が1次独立ならば ${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、${\mathit{u}}_3$は１次独立

（２）${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_1+{\mathit{u}}_2$、${\mathit{u}}_1+{\mathit{u}}_2+{\mathit{u}}_3$ が1次独立ならば ${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、${\mathit{u}}_3$は１次独立

（３）${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、$\cdots$、${\mathit{u}}_m$の中に零ベクトルがあれば${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、$\cdots$、${\mathit{u}}_m$は１次従属

 

 ポイント

ベクトル ${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$$(\ast )c_1{\mathit{u}}_1+c_2{\mathit{u}}_2+\cdots +c_n{\mathit{u}}_n=0(c_i\in \mathit{R})$$を満たす $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ が $c_1=0,c_2=0,\cdots ,c_n=0$ に限るときに ${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ は1次独立であると言います。${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ が1次独立でないとき、${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ は1次従属であると言います。

 

 解答例

（１）

否　･･･（答）

例えば $u_1=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$、${\mathit{u}}_2=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]$、${\mathit{u}}_3=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]$ は１次従属である。

（２）

正　･･･（答）

${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、${\mathit{u}}_3$が１次従属ならばその中の１つ、例えば${\mathit{u}}_3$は${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$の１次結合で書ける。（定理4.2.2）

これを${\mathit{v}}_1$、${\mathit{v}}_2$、${\mathit{v}}_3$に代入すると３個のベクトルが２個のベクトルで書けることになり、定理4.2.3より１次従属となる。

（３）

正　･･･（答）

例えば ${\mathit{u}}_1=0$ ならば$$1{\mathit{u}}_1+0{\mathit{u}}_2+\cdots +0{\mathit{u}}_m=\mathbf{0}$$は自明でない１次関係を与えるから${\mathit{u}}_1$、${\mathit{u}}_2$、$\cdots$、${\mathit{u}}_m$は１次従属となる。

 

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