問題#B008 ★★☆☆
2桁の正の整数$n$は$5$で割ると$2$余り、2乗して$8$で割ると$1$余るという。このような$n$をすべて求めよ。
《ポイント》
本問は平方剰余を利用しません。$n$を式で表せばあとは一本道です。
《解答例》
条件より正の整数$n$は$$n=5k+2$$と表される。ここで、$n$は2桁の正の整数であるから$k$は $2 \leqq k \leqq 19$ を満たす整数である。このとき$$\begin{align} n^2 &=(5k+2)^2 \\ &=25k^2+20k+4 \\ &=8(3k^2+2k)+k^2+4k+4 \\ &=8(3k^2+2k)+1+(k^2+4k+3) \\&=8(3k^2+2k)+1+(k+1)(k+3) \end{align}$$と変形でき、$n^2$は2乗して$8$で割ると$1$余るから $(k+1)(k+3)$ が$8$の倍数となることが必要である。そのような整数$k$を $2 \leqq k \leqq 19$ の範囲で求めると、$$k=3、5、7、9、11、13、15、17、19$$を得る。これに対応する$n$はそれぞれ$$n=17、27、37、47、57、67、77、87、97$$であり、これらはすべて題意を満たす。
（答）$n=17、27、37、47、57、67、77、87、97$
《コメント》
$8(3k^2+2k)+1+(k+1)(k+3)$の形に整理するのがややトリッキーに映るかもしれませんが、余りを意識して式変形していけば何とかこの形に持っていけるはずです。ご覧の通り、今回は平方剰余の出る幕は全くありませんね。