問題#C010 ★★☆☆
正の整数 $x、y、z$ は以下の条件
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$、$x \leqq y \leqq z$
を満たす。
（１）$1<x \leqq 3$ を示せ。
（２）正の整数 $x、y、z$ の組$(x,y,z)$をすべて求めよ。
《ポイント》
3文字ですが、大小関係から絞り込むという基本は変わりません。
《解答例》
（１）
$x \leqq y \leqq z$ より $$\begin{align} 1&=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \\ &\leqq \dfrac{3}{x} \end{align}$$ $$\therefore x \leqq 3$$
であり、$x=1$ とすると $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$ となるが、これを満たす正の整数 $y、z$ は存在しない。よって $1<x \leqq 3$ である。
□
（２）
（１）より $x=2、3$ に限られる。
$x=2$ のとき $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}$ となる。
$$\begin{align}\dfrac{1}{2}&= \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \\ & \leqq \dfrac{2}{y} \end{align}$$ $$\therefore 2=x \leqq y \leqq 4$$
これより $(y,z)=(3,6)、(4,4)$ を得る。
$x=3$ のとき $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3}$ となる。
$$\begin{align}\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \\ & \leqq \dfrac{2}{y} \end{align}$$ $$\therefore 3=x \leqq y \leqq 3$$
これより $(y,z)=(3,3)$ を得る。
以上より、求める正の整数 $x、y、z$ の組は
$(x,y,z)=(2,3,6)$、$(2,4,4)$、$(3,3,3)$
である。
（答）$(x,y,z)=(2,3,6)$、$(2,4,4)$、$(3,3,3)$
《コメント》
単位分数の方程式は一次式のディオファントス方程式を解くのと基本は同じです。分数のまま解くときは大小関係を仮定して議論を進めしましょう。
（出典：鳥取大(文理共通)1998年第1問ほか、都立大、摂南大など多数）